求值域 f(x)=log(a) (x+a/x-4) (a>0,a≠1)的值域是R,则实数a的取值范围第一个a是底数,1)∪(1,4】 】表示闭区间
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/27 08:59:58
![求值域 f(x)=log(a) (x+a/x-4) (a>0,a≠1)的值域是R,则实数a的取值范围第一个a是底数,1)∪(1,4】 】表示闭区间](/uploads/image/z/2805213-21-3.jpg?t=%E6%B1%82%E5%80%BC%E5%9F%9F+f%28x%29%3Dlog%28a%29+%28x%2Ba%2Fx-4%29+%28a%EF%BC%9E0%2Ca%E2%89%A01%29%E7%9A%84%E5%80%BC%E5%9F%9F%E6%98%AFR%2C%E5%88%99%E5%AE%9E%E6%95%B0a%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4%E7%AC%AC%E4%B8%80%E4%B8%AAa%E6%98%AF%E5%BA%95%E6%95%B0%2C1%EF%BC%89%E2%88%AA%EF%BC%881%2C4%E3%80%91+%E3%80%91%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E9%97%AD%E5%8C%BA%E9%97%B4)
求值域 f(x)=log(a) (x+a/x-4) (a>0,a≠1)的值域是R,则实数a的取值范围第一个a是底数,1)∪(1,4】 】表示闭区间
求值域 f(x)=log(a) (x+a/x-4) (a>0,a≠1)的值域是R,则实数a的取值范围
第一个a是底数,
1)∪(1,4】 】表示闭区间
求值域 f(x)=log(a) (x+a/x-4) (a>0,a≠1)的值域是R,则实数a的取值范围第一个a是底数,1)∪(1,4】 】表示闭区间
因为 函数f(x)=log(x+a/x-4) 的值域是 R,所以 函数 y=x+a/x-4(x≠0) 的值域必须“包含”有 (0,+∞),也就是说(0,+∞)包含在“y=x+a/x-4”的值域中就能满足题意,不一定恰好是(0,+∞).
设方程 x+a/x-4=k (k>0) 即 x^2 -(4+k)x + a=0 --------------------(1)
由原题意,对任意 k>0 ,关于“x”的二次方程(1) 都有解,
于是判别式 △=g(k)=(4+k)^2 - 4a=k^2 + 8k + 16 - 4a ≥0 ---------(2)
进一步,当 k>0 时,关于“k”的不等式(2)恒成立,所以
对关于“k”的二次函数 g(k)=k^2 + 8k + 16 - 4a ,有 g(0)=16 - 4a≥0 ,
[因为 g(k) 的对称轴是 k=-4,作图可知:欲使 当 k>0 时 (2)式恒成立,必须有 g(0)=16 - 4a≥0 ]
解得 a≤4,
又因为 a>0 且 a≠1,所以,a 的取值范围是 (0,1)∪(1,4] .
原命题等价于x+a/x-4可以取到(0,正无穷)上的任何正数。
先看定义域,
0 < x + a/x - 4,
当x > 0时,0 < x^2 - 4x + a = (x-2)^2 + a-4,
a > 4时,x > 0.
a = 4时,x > 0. x 不等于2.
a < 4时,(x-2)^2 > 4 - a, |x-2| > (4-a)^(1/2...
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原命题等价于x+a/x-4可以取到(0,正无穷)上的任何正数。
先看定义域,
0 < x + a/x - 4,
当x > 0时,0 < x^2 - 4x + a = (x-2)^2 + a-4,
a > 4时,x > 0.
a = 4时,x > 0. x 不等于2.
a < 4时,(x-2)^2 > 4 - a, |x-2| > (4-a)^(1/2),
x > 2 + (4-a)^(1/2), 或者,x < 2 - (4-a)^(1/2),
0 < a < 4时,x > 2 + (4-a)^(1/2), 或者,0 < x < 2 - (4-a)^(1/2);
a <= 0时, x > 2 + (4-a)^(1/2)。
当x < 0时,0 > x^2 - 4x + a = (x-2)^2 + a - 4.
a >= 4时,无解。
a < 4时,(x-2)^2 < 4 - a, |x-2| < (4-a)^(1/2),
2 - (4-a)^(1/2) < x < 2 + (4-a)^(1/2),
0 <= a < 4时,无解。
a < 0时, 2 - (4-a)^(1/2) < x < 0。
综合,定义域为,
a > 4时,x > 0.
a = 4时,x > 0. x 不等于2.
0 < a < 4时,x > 2 + (4-a)^(1/2), 或者,0 < x < 2 - (4-a)^(1/2);
a = 0时,x > 2 + (4)^(1/2) = 4。
a < 0时, x > 2 + (4-a)^(1/2),或者,2 - (4-a)^(1/2) < x < 0。
这样,
a > 4时,x > 0. x + a/x - 4 >= 2a - 4 > 4,不符题意。
a = 4时,x > 0. x 不等于2. x + a/x - 4 >= 2a - 4 = 4,不符题意。
0 < a < 4时,x > 2 + (4-a)^(1/2), 或者,0 < x < 2 - (4-a)^(1/2);
x + a/x - 4 当x趋于+0或者正无穷时,趋于正无穷,
x + a/x - 4 当x趋于2 + (4-a)^(1/2)或者2 - (4-a)^(1/2)时,趋于+0,
x + a/x - 4可以取到(0,正无穷)上的任何值,符合题意。
a = 0时,x > 2 + (4)^(1/2) = 4。x + a/x - 4 = x - 4可以取到(0,正无穷)上的任何值,符合题意。
a < 0时, x > 2 + (4-a)^(1/2),或者,2 - (4-a)^(1/2) < x < 0。
x + a/x - 4 当x趋于+0或者正无穷时,趋于正无穷,
x + a/x - 4 当x趋于2 + (4-a)^(1/2)或者2 - (4-a)^(1/2)时,趋于+0,
x + a/x - 4可以取到(0,正无穷)上的任何值,符合题意。
因此,a的取值范围是 a < 4.
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