设f(x)在x=0的邻域内具有二阶导数,且lim(x趋于0)(1+x+f(x)/x)^(1/x)=e^3（1）求f(0),f'(0)和f''(0) (2)求lim(x趋于0)(1+f(x)/x)^(1/x)

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/20 12:29:17

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设f(x)在x=0的邻域内具有二阶导数,且lim(x趋于0)(1+x+f(x)/x)^(1/x)=e^3（1）求f(0),f'(0)和f''(0) (2)求lim(x趋于0)(1+f(x)/x)^(1/x)
设f(x)在x=0的邻域内具有二阶导数,且lim(x趋于0)(1+x+f(x)/x)^(1/x)=e^3
（1）求f(0),f'(0)和f''(0)
(2)求lim(x趋于0)(1+f(x)/x)^(1/x)

设f(x)在x=0的邻域内具有二阶导数,且lim(x趋于0)(1+x+f(x)/x)^(1/x)=e^3（1）求f(0),f'(0)和f''(0) (2)求lim(x趋于0)(1+f(x)/x)^(1/x)
(1) lim(x->0) (1+x+f(x)/x)^(1/x)=e^3=e^ lim(x->0) 1/x*ln[(1+x+f(x)/x)]
故有
lim(x->0) ln[(1+x+f(x)/x)]/x=3
分母趋于0,故分子必趋于0,于是有
lim(x->0) [1+x+f(x)/x)]=1
得
lim(x->0) f(x)/x=0
同样道理,分母趋于0,则分子必趋于0,于是有f(0)=0
利用罗比塔法则：
0=lim(x->0) f(x)/x=lim(x->0) f'(x)/1
得f'(0)=0
再利用罗比塔法则：
3=lim(x->0) ln[(1+x+f(x)/x)]/x=lim(x->0) 1/[(1+x+f(x)/x)]*{1+[f'(x)*x-f(x)]/x^2}/1=
lim(x->0) 1/[(1+0+0)]*{1+[f'(x)*x-f(x)]/x^2}/1
故有
2=lim(x->0) [f'(x)*x-f(x)]/x^2 （下面利用罗比塔法则）
=lim(x->0) [f''(x)*x+f'(x)-f'(x)]/(2x)
=lim(x->0) f''(x)*x/(2x)
=lim(x->0) f''(x)/2
故有f''(0)=4
(2)lim(x->0) (1+f(x)/x)^(1/x)=e^ lim(x->0) ln[1+f(x)/x]/x （下面利用罗比塔法则）
=e^ lim(x->0) 1/[1+f(x)/x]*[xf'(x)-f(x)]/x^2 （下面利用罗比塔法则）
=e^ lim(x->0) 1/[1+0]*[f'(x)+xf''(x)-f'(x)]/(2x) （x消掉）
=e^ lim(x->0) f''(x)/2
=e^(4/2)
=e^2
不明白请追问.

全部展开

(1) lim(x->0) (1+x+f(x)/x)^(1/x)=e^3=e^ lim(x->0) 1/x*ln[(1+x+f(x)/x)]
故有
lim(x->0) ln[(1+x+f(x)/x)]/x=3
分母趋于0，故分子必趋于0，于是有
lim(x->0) [1+x+f(x)/x)]=1
得
lim(x->0) f(x)/x=0
同样道理，分母趋于0，则分子必趋于0，于是有f(0)=0
利用罗比塔法则：
0=lim(x->0) f(x)/x=lim(x->0) f'(x)/1
得f'(0)=0
再利用罗比塔法则：
3=lim(x->0) ln[(1+x+f(x)/x)]/x=lim(x->0) 1/[(1+x+f(x)/x)]*{1+[f'(x)*x-f(x)]/x^2}/1=
lim(x->0) 1/[(1+0+0)]*{1+[f'(x)*x-f(x)]/x^2}/1
故有
2=lim(x->0) [f'(x)*x-f(x)]/x^2 （下面利用罗比塔法则）
=lim(x->0) [f''(x)*x+f'(x)-f'(x)]/(2x)
=lim(x->0) f''(x)*x/(2x)
=lim(x->0) f''(x)/2
故有f''(0)=4
(2)lim(x->0) (1+f(x)/x)^(1/x)=e^ lim(x->0) ln[1+f(x)/x]/x （下面利用罗比塔法则）
=e^ lim(x->0) 1/[1+f(x)/x]*[xf'(x)-f(x)]/x^2 （下面利用罗比塔法则）
=e^ lim(x->0) 1/[1+0]*[f'(x)+xf''(x)-f'(x)]/(2x) （x消掉）
=e^ lim(x->0) f''(x)/2
=e^(4/2)
=e^2
不明白请追问。

收起

设f(x)在点x=o的某一邻域内具有连续的二阶导数,且lim(x->0)f(x)/x=0,证明:级数∑(n=1,∞)f(1/n)绝对收敛级数收敛证明设f(x)在x=0的某一邻域内具有二阶连续导数,x->0时,f(x)/x->0,证明级数∑f(1/n)绝对收敛. 一道关于证明拐点的问题!原题：设y=f(x)在x=x0的某邻域内具有三阶连续导数,如果f(x0)的二阶导数等于0,而f(x0)的三阶导数不等于0,试问（x0,f(x0)）是否为拐点?为什么?{因为f（x）的三阶导数在x0 设f(x)在x=0的邻域内具有二阶导数,且lim(x趋于0)(1+x+f(x)/x)^(1/x)=e^3（1）求f(0),f'(0)和f''(0) (2)求lim(x趋于0)(1+f(x)/x)^(1/x) 设函数f（x）具有连续的二阶导数,且f'(0)=0,limf''(x)/|x|=1,则f(0)是f(x)的极小值其中lim是x趋向于0时的极限.一般解题思路是通过f''(x)在0的邻域内>0得出f'(x)在0的邻域内递增,再根据x0时,f'(x)>f'(0)=0, 设函数y=f(x)在x=0 的某邻域内具有四阶导数, f(0)=f ′(0)=f ′′(0)=f ′′′(0)=0, 证明关系式: 设函数y=f(x)在x=0的某邻域内具有四阶导数,f（0）=f‘（0）=f‘’（0）=f‘’‘（0）设f(x)=(x-a)φ(x),其中函数φ(x)在点a的邻域内有连续得到函数,证明f(x)在点a处二阶可导,并求此二阶导数设函数y=f(x)在x=0的某邻域内具有n阶导数,且f(0)=f'(0)=……=f^(n-1)(0)=0试用柯西中值定理证明f(x)/x^n=f^(n)(θx)/n!,0〈θ〈1 设函数f(x)在点x=的某右邻域内有定义,f(0)=f(0)的导数=0,且f(x)的二阶导数存在,证明级数f(1/n),n=1证明级数绝对收敛，那个级数符号不会打。大神们意会下设f(x)有二阶导数,在x=0的某去心邻域内f(x)≠0,且lim f(x)/x=0,f'(0)=4,求lim (1+f(x)/x)^(1/x) 设函数f(x)在x=0的某邻域内具有一阶连续导数,且f(0)不等于0,f'(0)不等于 0,若af(h)+bf(2h)-f(0)在h趋向于0时,是比h 的高阶无穷小,试确定a,b 的值设函数f(x)在区间（a.b）内具有二阶导数.如果x∈（a.b）时恒有f(x)>0则f(x)在（a.b）内的凹凸性设函数f(x)在区间（a.b）内具有二阶导数.如果x∈（a.b）时恒有f(x)二阶导数>0则f(x)在（a.b）内的凹导数与微分的设f(x)在x=0的某邻域内有连续的四阶导数,当x不等于0时,f（x）不等於0,又F（X）={(tanx-sinx)除(f(x)-0).x不等于0.1.x=0在x=0处连续,则f'''（0）=? 大学数学求证题,用柯西中值定理设函数y=f(x)在x=0的某邻域内具有n阶导数,且f（0）=f '（0）=f ''（0）=f '''（0）=f (4)（0）=……=f(n-1)（0）=0,证明：f(x)/x^n=f(n)（βx）/n!,其中β∈(0,1) 设f(x)在[0,1]上具有二阶连续导数,且|f''(x)| 设f(x)在(0,1)具有二阶导数,且|f(x)| 二元函数极值设函数 z = f ( x ,y ) 在点 ( x 0 ,y 0 ) 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数 ,又 f x ( x 0 ,y 0 ) = 0 ,f y ( x 0 ,y 0 ) = 0 ,令f xx ( x 0 ,y 0 ) = A ,f xy ( x 0 ,y 0 ) = B ,f yy ( x 0 ,y 0 ) = C ,则 f (