【高二数学】不等式证明已知x≥1,求证:x³≥2x²-2x+1提示:作差法请问怎么证明,请写出步骤,

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/04 18:55:26
【高二数学】不等式证明已知x≥1,求证:x³≥2x²-2x+1提示:作差法请问怎么证明,请写出步骤,
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【高二数学】不等式证明已知x≥1,求证:x³≥2x²-2x+1提示:作差法请问怎么证明,请写出步骤,
【高二数学】不等式证明
已知x≥1,求证:x³≥2x²-2x+1
提示:作差法
请问怎么证明,请写出步骤,

【高二数学】不等式证明已知x≥1,求证:x³≥2x²-2x+1提示:作差法请问怎么证明,请写出步骤,
见图片

只要证明x³-x²+x≥x²-x+1,
即X(x²-x+1)≥x²-x+1;
已知x≥1
移向后得到x³≥2x²-2x+1。

x³-(2x²-2x+1)
=x³-x²-x²+x+x-1
=(x²-x+1)(x-1)
x²-x+1=(x-1/2)^2+3/4>0
x≥1 =>x-1≥0
=>(x²-x+1)(x-1)>=0
=>x³≥2x²-2x+1

x³-2x²+2x-1
=x³-2x²+x+x-1
=x(x²-2x+1)+(x-1)
=x(x-1)^2+(x-1)
=(x-1)[(x(x-1)+1]
以上几项都是非负数,所以上式非负
即原式得证

令f(x) = x^3 - 2x^2 + 2x - 1
则f(x) = x^3 - 2x^2 + 2x - 1 = (x^2-x+1)(x-1)
因为x^2-x+1=(x-1/2)^2+3/4>0
且由已知x≥1得x-1≥0
所以(x^2-x+1)(x-1)≥0
即x³≥2x²-2x+1