若实数x,y满足[x+根号(x^2+1)][y+根号(y^2+1)]=1,求x+y
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/01 10:12:44
若实数x,y满足[x+根号(x^2+1)][y+根号(y^2+1)]=1,求x+y
若实数x,y满足[x+根号(x^2+1)][y+根号(y^2+1)]=1,求x+y
若实数x,y满足[x+根号(x^2+1)][y+根号(y^2+1)]=1,求x+y
很明显x,y =0时成立,如果是填空选择就直接写x+y=0
如果是简答或证明就讨论吧……
首先很明显当x,y =0时[x+根号(x^2+1)][y+根号(y^2+1)]=1成立;
讨论
1、当x+y=0时,[x+根号(x^2+1)][y+根号(y^2+1)]=[-y+根号(y^2+1)][y+根号(y^2+1)]=1,成立
2、当x+y>0时,则x,y中总有一个大于零,假设X>0,那么x>-y,x+根号(x^2+1)>-y+根号(y^2+1);
这时[x+根号(x^2+1)][y+根号(y^2+1)]>[-y+根号(y^2+1)][y+根号(y^2+1)]=1,不成立,同理y>0时等式也不成立
3、当x+y
先把等式左边的两个因数分别分子有理化, 相乘的结果也是1,然后两个等式组成比例,化解整理 得
根号(x^2+1)*y= -根号(y^2+1)*x 所以 x和y 异号
左右两边同时平方 x^2-y^2=(x-y)(x+y)=0
x-y 不等于0 所以 x+y=0
[x+√(x²+1)][y+√(y²+1)]=1
√(x²+1)[y+√(y²+1)]=1-x[y+√(y²+1)]
(x²+1)[y+√(y²+1)]²=1²-2x[y+√(y²+1)]+x²[y+√(y²+1)]²
2x[y+√(y²+1)]=1-[y+√(y²+1)]²
x=-y
x+y=0