高二数列题目数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a(n+1)=(n+2)Sn\n,n=1,2,3……求证:1.{Sn\n}是等比数列 2.求{an}的通项公式.这一类题我不会啊……麻烦解一下^0^谢了~
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/07 11:04:32
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高二数列题目数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a(n+1)=(n+2)Sn\n,n=1,2,3……求证:1.{Sn\n}是等比数列 2.求{an}的通项公式.这一类题我不会啊……麻烦解一下^0^谢了~
高二数列题目
数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a(n+1)=(n+2)Sn\n,n=1,2,3……
求证:1.{Sn\n}是等比数列 2.求{an}的通项公式.
这一类题我不会啊……麻烦解一下^0^谢了~
高二数列题目数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,a(n+1)=(n+2)Sn\n,n=1,2,3……求证:1.{Sn\n}是等比数列 2.求{an}的通项公式.这一类题我不会啊……麻烦解一下^0^谢了~
1、a(n+1)=(n+2)Sn/n,n=1,2,3...
=>S(n+1)-Sn=(n+2)Sn/n,=1,2,3...
=>S(n+1)=2(n+1)Sn/n,n=1,2,3...
=>[S(n+1)/(n+1)]/[Sn/n]=2,n=1,2,3...
所以,{Sn/n}是首项为S1/1=a1/1=1,公比为2的等比数列.
2、因为Sn/n=1*2^(n-1)
=>Sn=n*2^(n-1)
=>Sn-S(n-1)=an=(n+1)*2^(n-2),n=2,3,4...
又因为a1=1,也满足上式,
所以,综上述,有an=(n+1)*2^(n-2),n=1,2,3..
a(n+1)=S(n+1)-S(n)代入已知式子中化简得S(n+1)=2(n+1)Sn/n。再化简就的到答案了。
a(n+1)=S(n+1)-Sn,代入可得,S(n+1)/(n+1)=2Sn/n,得证。
设Sn/n=Tn,由上可知,Tn为等比数列,公比为2,首项为1,Tn=2'_n-1,Sn=n*2'_n-1,an=n*2'_(n-2)+2'_n-2