△ABC中,AB=AC=3cm,BC=2cm,以AC为直径作半圆交AB于点D,交BC于点E,图中阴影部分面积为 cm2.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/04 07:03:45
![△ABC中,AB=AC=3cm,BC=2cm,以AC为直径作半圆交AB于点D,交BC于点E,图中阴影部分面积为 cm2.](/uploads/image/z/3185699-59-9.jpg?t=%E2%96%B3ABC%E4%B8%AD%2CAB%3DAC%3D3cm%2CBC%3D2cm%2C%E4%BB%A5AC%E4%B8%BA%E7%9B%B4%E5%BE%84%E4%BD%9C%E5%8D%8A%E5%9C%86%E4%BA%A4AB%E4%BA%8E%E7%82%B9D%2C%E4%BA%A4BC%E4%BA%8E%E7%82%B9E%2C%E5%9B%BE%E4%B8%AD%E9%98%B4%E5%BD%B1%E9%83%A8%E5%88%86%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E4%B8%BA+cm2%EF%BC%8E)
△ABC中,AB=AC=3cm,BC=2cm,以AC为直径作半圆交AB于点D,交BC于点E,图中阴影部分面积为 cm2.
△ABC中,AB=AC=3cm,BC=2cm,以AC为直径作半圆交AB于点D,交BC于点E,图中阴影部分面积为 cm2.
△ABC中,AB=AC=3cm,BC=2cm,以AC为直径作半圆交AB于点D,交BC于点E,图中阴影部分面积为 cm2.
取AC中点为O,连OD,OE,设∠BAC=α,∠DOA=β,∠DOE=γ,∠EOC=δ
在三角形BAC中,cosα=(3^2+3^2-2^2)/(2×3×3)=7/9,sinα=(4√2)/9
过O做OH垂直AD于H,△AOH中AH=AOcosα=(3/2)×(7/9)=7/6
则AD=7/3,那么BD=3-7/3=2/3,sin(β/2)=AH/AO=cosα=7/9,cos(β/2)=sinα=(4√2)/9,则sinβ=2sin(β/2)cos(β/2)=2×(7/9)×((4√2)/9)=(56√2)/81,在△ADO中由余弦定理,cosβ=[(3/2)^2+(3/2)^2-(7/3)^2]/[2×(3/2)×(3/2)]=-17/81
因为OE半径,所以OE=OC=(1/2)AC=(1/2)AB,所以△OEC∽△ABC,所以∠EOC=α,E为底边BC中点
cosπ=cos[γ+(β+α)]=cos(α+β)cosγ-sin(α+β)sinγ=(cosαcosβ-sinαsinβ)cosγ-(sinαcosβ+cosαsinβ)sinγ=-1,将sinα,cosα,sinβ,cosβ值代入计算,则最终有[(4√2)/9]sinγ+(7/9)cosγ=1
又因为sinα=(4√2)/9,cosα=7/9,所以又有sinαsinγ+cosαcosγ=1,那么cos(α-γ)=1
所以α-γ=0,所以α=γ
连DE,由α=γ可知EC弓形的面积等于弓形DE的面积
所以阴影部分的面积就是△BDE的面积,BE=1,BD=2/3,△DOE与△EOC全等,所以DE=1
又有DE/OE=1/(3/2)=2/3=DB/EC,则△BDE∽△CEO,所以∠DEB=α,△BDE面积=(1/2)×BE×DE×sinα=(1/2)×1×1×[(4√2)/9]=(2√2)/9