作业帮定义在正整数集上的函数f(x)对任意m,n∈N*,都有f(m+n)=f(m)+f(n)+4(m+n)-2,且f(1)=1(1)求函数f(x)的表达式.(2)若m^2-tm-1
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/12/02 07:31:20
定义在正整数集上的函数f(x)对任意m,n∈N*,都有f(m+n)=f(m)+f(n)+4(m+n)-2,且f(1)=1(1)求函数f(x)的表达式.(2)若m^2-tm-1
定义在正整数集上的函数f(x)对任意m,n∈N*,
都有f(m+n)=f(m)+f(n)+4(m+n)-2,且f(1)=1
(1)求函数f(x)的表达式.
(2)若m^2-tm-1
定义在正整数集上的函数f(x)对任意m,n∈N*,都有f(m+n)=f(m)+f(n)+4(m+n)-2,且f(1)=1(1)求函数f(x)的表达式.(2)若m^2-tm-1
（1）另m=x,n=1,得到f(x+1)=f(x)+4x
+3；所以：
f(2)=f(1)+4*1+3
f(3)=f(2)+4*2+3
f(4)=f(3)+4*3+3
.
f(x)=f(x-1)+4*(x-1)+3
累加得,f(x）=f(1)+4*（1+2+3+...+(x-1))+3*(x-1)
=2x²+x-2
2、由(1)显然知,f(x)最小值为1,所以m²-tm-1≤1对任意m∈[-1,1]恒成立
当m=0时,对t∈R不等式均成立；
当m＜0时,原式等价于t≤m-2/m在m∈[-1,0)恒成立,而函数m-2/m的最小值为1(函数为单增函数),所以t≤1；
当m＞0时,原式等价于t≥m-2/m在m∈(0,1]恒成立,而函数m-2/m的最大值为-1(函数为单增函数),所以t≥-1
综上可得,-1≤m＜0时,t≤1
m=0时,t∈R
0＜m≤1时,t≥-1
1.令n=1,则f(m+1)=f(m)+f(1)+4(m+1)-2=f(m)+4m+3，所以f(m)=f(m-1)+4m-1
所以f(m)-f(m-1)=4m-1,由此递推，
f(m-1)-f(m-2)=4(m-1)-1
…… ……
f(2)-f(1)=4*2-1
两边相加得,
f(m)-f(1)=4*[m+(m-1)+……2]-...
全部展开
1.令n=1,则f(m+1)=f(m)+f(1)+4(m+1)-2=f(m)+4m+3，所以f(m)=f(m-1)+4m-1
所以f(m)-f(m-1)=4m-1,由此递推，
f(m-1)-f(m-2)=4(m-1)-1
…… ……
f(2)-f(1)=4*2-1
两边相加得,
f(m)-f(1)=4*[m+(m-1)+……2]-(m-1)=4*(m+2)(m-1)/2-(m-1)=(m-1)(2m+3)=2m^2+m-3，所以f(m)=2m^2+m-2，所以f(x)=2x^2+x-2,x取正整数
2. f(x)最小值1
m^2-tm-1<=f(x)恒成立，所以m^2-tm-1<=1，所以m^2-tm<=0
设g(m)=m^2-tm,m在[-1,1]上。因为g(m)对称轴m=t/2在[-1/2,1/2]上,为了保证g(m)<=0恒成立，则还要满足以下两个条件：判别式>0；f(1)<0,f(-1)<0。
由判别式>0得t不等于0；由g(1)<0得t>1,由g(-1)<0得t<-1
可见无解
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