大学高等代数矩阵证明题 (合同标准型)设A为实对称矩阵,则1)存在正实数t,使tE+A正定;2)存在正实数t,使E+tA正定;3)若可逆,则A与A逆有相同的正、负惯性指数,特别地,A正定的充要条件是A逆正
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/18 10:51:28
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大学高等代数矩阵证明题 (合同标准型)设A为实对称矩阵,则1)存在正实数t,使tE+A正定;2)存在正实数t,使E+tA正定;3)若可逆,则A与A逆有相同的正、负惯性指数,特别地,A正定的充要条件是A逆正
大学高等代数矩阵证明题 (合同标准型)
设A为实对称矩阵,则
1)存在正实数t,使tE+A正定;
2)存在正实数t,使E+tA正定;
3)若可逆,则A与A逆有相同的正、负惯性指数,特别地,A正定的充要条件是A逆正定.
在第一问中
A为实对称矩阵,则T'AT=diag(d1,d2,...,dn)
.
T正交,T逆=T' (这里怎么说明T是正交的)
.
所以 T逆(tE+A)T=T逆tET+T逆AT=tE+T'AT=diag(t+d1,t+d2,...,t+dn)
因为本人对这个的思路有点混乱,第二第三个问也要回答
PS:在第一问中是怎么说明存在正交阵T满足T'AT=diag(d1,d2,...,dn)这个分解的,普分解定理我没学,说这个我不明白的
大学高等代数矩阵证明题 (合同标准型)设A为实对称矩阵,则1)存在正实数t,使tE+A正定;2)存在正实数t,使E+tA正定;3)若可逆,则A与A逆有相同的正、负惯性指数,特别地,A正定的充要条件是A逆正
利用“实对称矩阵A是正定阵的充要条件是A的所有特征值大于0”即可完成所有证明.
因A是实对称阵,所以A的所有特征值是实数,可设A的最小特征值是a,最大特征值是b.
问题1中,取t>-a即可.
问题2中,
若A特征值全大于或等于0,则t可取任意正数;
若A特征值全小于0,则t可取任意负数;
若A特征值有正有负,则取-1/b
T'AT=diag(d1,d2,...,dn)这个是相似标准型
T^{-1}=T'就是正交阵的定义,没什么好说的。
仅仅从T'AT=diag(d1,d2,...,dn)不可能推出T正交。存在正交阵满足这个分解是由谱分解定理来保证的。
整个问题你只要知道A的特征值和惯性指数的关系就行了。
补充:
任取A的一个特征向量并张成Hermite阵Q,作用到A上之后
Q'AQ=
d1 0
0 A22
再归纳...
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T^{-1}=T'就是正交阵的定义,没什么好说的。
仅仅从T'AT=diag(d1,d2,...,dn)不可能推出T正交。存在正交阵满足这个分解是由谱分解定理来保证的。
整个问题你只要知道A的特征值和惯性指数的关系就行了。
补充:
任取A的一个特征向量并张成Hermite阵Q,作用到A上之后
Q'AQ=
d1 0
0 A22
再归纳就得到谱分解。
(1)和(2)等价,(1),(2),(3)都是谱分解的直接推论,没有任何难度。
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