作业帮设函数f(n)的定义域为N*,且f（1）=1,f(m+n)=f(m)+f(n)+mn .求f(n)的解析式.越详细越好!
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/27 09:57:08
设函数f(n)的定义域为N*,且f（1）=1,f(m+n)=f(m)+f(n)+mn .求f(n)的解析式.越详细越好!
设函数f(n)的定义域为N*,且f（1）=1,f(m+n)=f(m)+f(n)+mn .求f(n)的解析式.
越详细越好!
设函数f(n)的定义域为N*,且f（1）=1,f(m+n)=f(m)+f(n)+mn .求f(n)的解析式.越详细越好!
由题设 f(m+n)=f(m)+f(n)+mn
则 f(n) =f(n-1+1)=f(n-1)+f(1)+(n-1)
所以 f(n) - f(n-1) =(n-1)+f(1)；
同理得 f(n-1) -f(n-2)=n-2+f(1)；
.
f(2)-f(1)=1+f(1)；
将以上共 n-1 项左右相加得：f(n)-f(1) =(n-1)+(n-2)+.+1+(n-1)f(1)
f(n) =(n-1)(n-2)/2 +nf(1)
而 f(1)=1,所以 f(n)=(n-1)(n-2)/2+n =n(n+1)/2 .
令m=1，得f(n+1)=f(n)+f(1)+n=f(n)+n+1
即f(n+1)-f(n)=n+1
f(n)-f(n-1)=n
……
f(2)-f(1)=2
全部相加: f(n+1)-f(1)=n+1 + n+(n-1)+……+2
f(n+1)=(n+1)+ n+(n-1)+……+2+1=(n+2)(n+1)/2
f(n)=n(n+1)/2
when n>=2,
f(n) = f(1)+f(n-1)+(n-1)
f(n-1)=f(1)+f(n-2)+(n-2)
.
.
.
f(2)=f(1)+f(1)+1
so the sum of the left = the sum of the right
so f(n)+f(n-1)+f(n-2)+......+f(2) = ...
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when n>=2,
f(n) = f(1)+f(n-1)+(n-1)
f(n-1)=f(1)+f(n-2)+(n-2)
.
.
.
f(2)=f(1)+f(1)+1
so the sum of the left = the sum of the right
so f(n)+f(n-1)+f(n-2)+......+f(2) = (n-1)*f(1)+f(n-1)+f(n-2)+......+f(1)+1+2+.......+(n-1)
so f(n) = n*f(1) + 1+2+.......+(n-1)
= 1+2+.......+n
= n*(n+1)/2
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