在平面直角坐标系xOy中,有一个以F1(0,-√3)和F2(O,√3)为焦点,离心率为√3/2的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量OM=向量OA+向量OB,
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/25 16:30:59
![在平面直角坐标系xOy中,有一个以F1(0,-√3)和F2(O,√3)为焦点,离心率为√3/2的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量OM=向量OA+向量OB,](/uploads/image/z/4515191-71-1.jpg?t=%E5%9C%A8%E5%B9%B3%E9%9D%A2%E7%9B%B4%E8%A7%92%E5%9D%90%E6%A0%87%E7%B3%BBxOy%E4%B8%AD%2C%E6%9C%89%E4%B8%80%E4%B8%AA%E4%BB%A5F1%280%2C-%E2%88%9A3%29%E5%92%8CF2%28O%2C%E2%88%9A3%29%E4%B8%BA%E7%84%A6%E7%82%B9%2C%E7%A6%BB%E5%BF%83%E7%8E%87%E4%B8%BA%E2%88%9A3%2F2%E7%9A%84%E6%A4%AD%E5%9C%86.%E8%AE%BE%E6%A4%AD%E5%9C%86%E5%9C%A8%E7%AC%AC%E4%B8%80%E8%B1%A1%E9%99%90%E7%9A%84%E9%83%A8%E5%88%86%E4%B8%BA%E6%9B%B2%E7%BA%BFC%2C%E5%8A%A8%E7%82%B9P%E5%9C%A8C%E4%B8%8A%2CC%E5%9C%A8%E7%82%B9P%E5%A4%84%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BF%E4%B8%8Ex%E3%80%81y%E8%BD%B4%E7%9A%84%E4%BA%A4%E7%82%B9%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BAA%E3%80%81B%2C%E4%B8%94%E5%90%91%E9%87%8FOM%3D%E5%90%91%E9%87%8FOA%2B%E5%90%91%E9%87%8FOB%2C)
在平面直角坐标系xOy中,有一个以F1(0,-√3)和F2(O,√3)为焦点,离心率为√3/2的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量OM=向量OA+向量OB,
在平面直角坐标系xOy中,有一个以F1(0,-√3)和F2(O,√3)为焦点,离心率为√3/2的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量OM=向量OA+向量OB,求
(1)求曲线C的方程
(2)求点M的轨迹方程
(3)求 | 向量OM | 的最小值
在平面直角坐标系xOy中,有一个以F1(0,-√3)和F2(O,√3)为焦点,离心率为√3/2的椭圆.设椭圆在第一象限的部分为曲线C,动点P在C上,C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B,且向量OM=向量OA+向量OB,
c=√3,e=√3/2,a=2,b=1,x^2/4+y^2=1
P(s,t),过P直线:y=k(x-s)+t代入x^2/4+y^2=1得(1+4k^2)x^2-8k(ks-t)x+4(ks-t)^2-4=0
1/16判别式=4k^2(ks-t)^2-4k^2(ks-t)^2-(ks-t)^2+4k^2+1=(4-s^2)k^2+2stk-t^2+1
=4t^2k^2+2stk+1/4s^2=(2tk+1/2s)^2=0,k=-s/(4t),y=-s/(4t)(x-s)+t
A(4t^2/s+s,0)=(4/s,0);B(0,s^2/(4t)+t)=(0,1/t)
设M(x,y),则x=4/s,y=1/t,s=4/x,t=1/y,代入s^2/4+t^2=1得4/x^2+1/y^2=1,x^2+4y^2=x^2y^2,因0=0,m>=9
或m2,y>1)
所以| 向量OM | 的最小值=3