作业帮证明:1+1/4+1/9+1/16+…＝兀平方/6
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/23 23:06:45
xSRP~ (4C%rLѩ.B TpDE0!A wܛx2 fn=¬;)& \oqI/5vm1U\qa6B仚X} }m?! s~B^qb/tgL:0%>k={mN(Ļ$V)(LQe; ]/&VаX
zer_)&*T9*&`Ԃp95&p9yt,
证明:1+1/4+1/9+1/16+…＝兀平方/6
证明:1+1/4+1/9+1/16+…＝兀平方/6
证明:1+1/4+1/9+1/16+…＝兀平方/6
这题没有求和通项公式,
我知道两种证明方法,不过都要用微积分的知识.这里提一下查找的线索.自己去看书.
1.傅立叶展开(任何《数学分析》教材上都有)
2.利用CosX的无穷积展开和幂级数展开.可参看《数学分析教程》（菲赫金哥尔兹）.当然,如果你的水平限于中学,那么你也可以看《十万个为什么》（第二版）数学分册.里面有简单的介绍－－－就是第二种证法.
可以用傅里叶级数展开证明
函数f(x)=|x|在-π到π区间可以展开为f(x)=兀/2-(π/4)(cosx+1/9*cos^3x+1/25*cos^5x+……)
x=0时，π^2/8=1+1/9+1/25+……
设n1=1+1/9+1/25+……=π^2/8
n2=1/4+1/16+1/36+……
n=1+1/4+1/9+1/16+…
易知n2=n...
全部展开
可以用傅里叶级数展开证明
函数f(x)=|x|在-π到π区间可以展开为f(x)=兀/2-(π/4)(cosx+1/9*cos^3x+1/25*cos^5x+……)
x=0时，π^2/8=1+1/9+1/25+……
设n1=1+1/9+1/25+……=π^2/8
n2=1/4+1/16+1/36+……
n=1+1/4+1/9+1/16+…
易知n2=n/4=(n1+n2)/4,则n2=n1/3=π^2/24
则n=n1+n2=π^2/6
收起