已知椭圆G:X^2/4+Y^2=1,过点(m,0)做圆X^2+Y^2=1的切线L交椭圆G于A,B,两点.(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率;(2)将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/07 15:42:19
![已知椭圆G:X^2/4+Y^2=1,过点(m,0)做圆X^2+Y^2=1的切线L交椭圆G于A,B,两点.(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率;(2)将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值](/uploads/image/z/5301871-7-1.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%A4%AD%E5%9C%86G%EF%BC%9AX%5E2%2F4%2BY%5E2%3D1%2C%E8%BF%87%E7%82%B9%EF%BC%88m%2C0%EF%BC%89%E5%81%9A%E5%9C%86X%5E2%2BY%5E2%3D1%E7%9A%84%E5%88%87%E7%BA%BFL%E4%BA%A4%E6%A4%AD%E5%9C%86G%E4%BA%8EA%2CB%2C%E4%B8%A4%E7%82%B9.%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E6%A4%AD%E5%9C%86G%E7%9A%84%E7%84%A6%E7%82%B9%E5%9D%90%E6%A0%87%E5%92%8C%E7%A6%BB%E5%BF%83%E7%8E%87%EF%BC%9B%EF%BC%882%EF%BC%89%E5%B0%86%7CAB%7C%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E4%B8%BAm%E7%9A%84%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E5%B9%B6%E6%B1%82%7CAB%7C%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC)
已知椭圆G:X^2/4+Y^2=1,过点(m,0)做圆X^2+Y^2=1的切线L交椭圆G于A,B,两点.(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率;(2)将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值
已知椭圆G:X^2/4+Y^2=1,过点(m,0)做圆X^2+Y^2=1的切线L交椭圆G于A,B,两点.(1)求椭圆G的焦
点坐标和离心率;(2)将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值
已知椭圆G:X^2/4+Y^2=1,过点(m,0)做圆X^2+Y^2=1的切线L交椭圆G于A,B,两点.(1)求椭圆G的焦点坐标和离心率;(2)将|AB|表示为m的函数,并求|AB|的最大值
(1)
由已知得:
a²=4,a=2
b²=1,b=1
∴c=√(a²-b²)=√3
∴椭圆G的焦点坐标为(-√3,0)(√3,0)
离心率e=c/a=√3/2
(2)
由题意知:
|m|≥1
当m=1时,切线l的方程为x=1
点A,B的坐标分别为(1,√3/2),(1,-√3/2)
此时,|AB|=√3
当m=-1时,同理可得|AB|=√3
当|m|>1时,设切线l的方程为y=k(x-m)
由:
{y=k(x-m)
{(x²/4)+y²=1
得:
(1+4k²)x²-8k²mx+4k²m²-4=0
设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)
则由韦达定理,得:
x1+x2=8k²m/(1+4k²)
x1•x2=(4k²m²-4)/(1+4k²)
又l与圆x²+y²=1相切,得:
|km|/√(k²+1)=1
即m²k²=k²+1
∴|AB|=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]
=√(1+k²)[(x1+x2)²-4x1x2]
=√(1+k²)[ [64k⁴m²/(1+4k²)²]-[4(4k²m²-4)/(1+4k²)] ]
=(4√3|m|)/(m²+3)
由于当m=±1时,|AB|=√3
∴|AB|=(4√3|m|)/(m²+3),m∈(-∞,-1]∪[1,+∞)
∵|AB|=(4√3|m|)/(m²+3)=4√3/[ |m|+(3/|m|) ] ≤2
且当m=±√3时,|AB|=2
∴|AB|的最大值为2