一道高中几何计算题椭圆ax^2+by^2=1 与直线x+y=1交于A,B两点,C是线段AB的中点,/AB/=2√2,（注：/AB/表示AB的绝对值）,线段OC的斜率为√2 /2,求a,b的值

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/19 10:24:58
一道高中几何计算题椭圆ax^2+by^2=1 与直线x+y=1交于A,B两点,C是线段AB的中点,/AB/=2√2,（注：/AB/表示AB的绝对值）,线段OC的斜率为√2 /2,求a,b的值
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一道高中几何计算题椭圆ax^2+by^2=1 与直线x+y=1交于A,B两点,C是线段AB的中点,/AB/=2√2,（注：/AB/表示AB的绝对值）,线段OC的斜率为√2 /2,求a,b的值
一道高中几何计算题
椭圆ax^2+by^2=1 与直线x+y=1交于A,B两点,C是线段AB的中点,/AB/=2√2,（注：/AB/表示AB的绝对值）,线段OC的斜率为√2 /2,求a,b的值

一道高中几何计算题椭圆ax^2+by^2=1 与直线x+y=1交于A,B两点,C是线段AB的中点,/AB/=2√2,（注：/AB/表示AB的绝对值）,线段OC的斜率为√2 /2,求a,b的值
ax^2+by^2=1与直线方程x+y=1联立：得到：
(a+b)x^2-2bx+b-1=0
由弦长公式：|AB|=|x2-x1|根号(1+k^2)
而一直直线斜率k=-1,由韦达定理：知|x2-x1|=(根号下Δ)/|a+b|,而已知该曲线为椭圆,因此a>0,b>0,代入得：
2根号2*根号下(a+b-ab)/(a+b)=2根号2
即:根号下(a+b-ab)/(a+b)=1(1 )
然后利用AB的中点C与椭圆中心连线的斜率为2分之根号2得到：
k=((y1+y2)/2)/((x1+x2)/2)=(y1+y2)/(x1+x2)=1/根号2
而y1+y2=(1-x1)+(1-x2)=2-(x1+x2)=2-2b/(a+b)
x1+x2=2b/(a+b)
代入并化简得到：2a=b*跟号2(2 )
联立1,2解得a=1/3,b=(根号2)/3

不懂

y=-x+1
ax^2+b(-x+1)^2=1
(a+b)x^2-2bx+b-1=0
设A(x1,y1),B(x2.y2)
│AB│=√2││x1-x2│=√2√[（x1+x2)²－4x1x2]=√2√[(2b/(a+b))^2-4(b-1)/(a+b)]=2√2
(2b/(a+b))^2-4(b-1)/(a+b)=4....①
(y1+y2)/(x1+x2)=√2 /2
a/b=√2 /2....②
a=1/3
b=√2 /3

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