已知一个无穷递缩等比数列所有项和为1,各项的平方和为3分之1.求这个数列的首相和公比.并写出这个数列的通项公式
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/10 18:44:29
![已知一个无穷递缩等比数列所有项和为1,各项的平方和为3分之1.求这个数列的首相和公比.并写出这个数列的通项公式](/uploads/image/z/5457947-59-7.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%97%A0%E7%A9%B7%E9%80%92%E7%BC%A9%E7%AD%89%E6%AF%94%E6%95%B0%E5%88%97%E6%89%80%E6%9C%89%E9%A1%B9%E5%92%8C%E4%B8%BA1%2C%E5%90%84%E9%A1%B9%E7%9A%84%E5%B9%B3%E6%96%B9%E5%92%8C%E4%B8%BA3%E5%88%86%E4%B9%8B1.%E6%B1%82%E8%BF%99%E4%B8%AA%E6%95%B0%E5%88%97%E7%9A%84%E9%A6%96%E7%9B%B8%E5%92%8C%E5%85%AC%E6%AF%94.%E5%B9%B6%E5%86%99%E5%87%BA%E8%BF%99%E4%B8%AA%E6%95%B0%E5%88%97%E7%9A%84%E9%80%9A%E9%A1%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F)
已知一个无穷递缩等比数列所有项和为1,各项的平方和为3分之1.求这个数列的首相和公比.并写出这个数列的通项公式
已知一个无穷递缩等比数列所有项和为1,各项的平方和为3分之1.求这个数列的首相和公比.并写出这个数列的通项公式
已知一个无穷递缩等比数列所有项和为1,各项的平方和为3分之1.求这个数列的首相和公比.并写出这个数列的通项公式
根据无穷递缩等比数列求和公式S=a1/(1-q) 其中丨q丨<1,对于本题有
a1/(1-q)=1,或a1=1-q;①
又,数列各项的平方依次是a1²、a1²q²、a1²q^4……a1²q^(2n-2)……,
其首项是a1²,公比是q²,各项的和是a1²/(1-q²)=1/3,或3a1²=1-q²,②
将①代入②得3(1-q)²=1-q²,解此方程得q=1/2 (舍去另一根:1).由②得a1=1/2.
所求数列的通项公式是an=(1/2)*(1/2)^(n-1)=1/(2^n).
设首项是a1,公比是q,则前n项和是Sn=a1*(1-q^n)/(1-q),
无穷递缩等比数列所有项和S=lim(n→+∞) Sn=a1/(1-q)=1;
各项的平方和为Tn=a1^2+(qa1)^2+......+[q^(n-1)*a1]^2,新数列的首项是a1^2,公比q^2
Tn=a1^2(1-q^2n)/(1-q^2),所有项和T=lim(n→+∞) Tn=a1...
全部展开
设首项是a1,公比是q,则前n项和是Sn=a1*(1-q^n)/(1-q),
无穷递缩等比数列所有项和S=lim(n→+∞) Sn=a1/(1-q)=1;
各项的平方和为Tn=a1^2+(qa1)^2+......+[q^(n-1)*a1]^2,新数列的首项是a1^2,公比q^2
Tn=a1^2(1-q^2n)/(1-q^2),所有项和T=lim(n→+∞) Tn=a1^2/(1-q^2)=1/3
则(1-q^2)=3a1^2=3(1-q)^2,解得q=1或q=1/2;由于无穷递缩等比数列公比应满足|q|<1,
则q=1/2,a1=1-q=1/2
通项公式是an=a1*q^(n-1)=2^(-n)
收起
已知一个无穷递缩等比数列所有项和为1,各项的平方和为3分之1.求这个数列设求这个数列的首相和公比分别为 a1,q 所有项和为1 : a1/(1-q)=1