作业帮再用正交变换化二次型为标准形时,第一步：求出A第二布：求出特征值第三步：求出特征向量第四部：对特征向量进行正交化,单位化第五步：做正交变换x=Cy,得到f的标准形我想请问一下：第
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/12/04 03:21:02
再用正交变换化二次型为标准形时,第一步：求出A第二布：求出特征值第三步：求出特征向量第四部：对特征向量进行正交化,单位化第五步：做正交变换x=Cy,得到f的标准形我想请问一下：第
再用正交变换化二次型为标准形时,
第一步：求出A
第二布：求出特征值
第三步：求出特征向量
第四部：对特征向量进行正交化,单位化
第五步：做正交变换x=Cy,得到f的标准形
我想请问一下：第三步到第五步有这个必要吗?求出特征值之后,直接写出f=λ1y1^2+λ2y2^2+λ3y3^2.不就可以了吗?
我是这样想的：不是有个定理说实对称矩阵一定是可以对角化的,也就是说,n阶实对称矩阵一定存在n个线性无关的特征向量,也就是说,实对称矩阵的n个特征值（可能会有相等的特征值）所对应的n个特征向量一定是线性无关的,那么这些向量组成的矩阵经过正交化和单位化后得到的矩阵C（正交变换矩阵）的行列式一定不等于0,所以C一定是可逆的,那为什么要按照上面第三步到第五步把C求出来然后验证它是不是等于0呢?第三步至第五步有必要吗?
还有我想问一下,为什么必须对特征向量组成的矩阵正交化和单位化呢?不进行会怎么样呢?
再用正交变换化二次型为标准形时,第一步：求出A第二布：求出特征值第三步：求出特征向量第四部：对特征向量进行正交化,单位化第五步：做正交变换x=Cy,得到f的标准形我想请问一下：第
若是用正交化方法化二次型 为标准型,则第三步到第五步是必须的,要不你到哪里去求那个正交变换呢?
若不对特征向量进行标准正交化,那就不是正交对角化,而是相似对角化了.
我倒是想给你回答。可惜这是大一上学的、、早就忘光了啊！不好意思哦！
实对称矩阵是可以相似对角化，（额，我们一般会叫相合，因为是正交矩阵，其逆矩阵即为转置矩阵，相似变换即为相合变换了），所以第四步不用正交化了，直接单位化即可，因为你这是在求“标准形”，二次项系数若非0则必为1。此时C为单位正交矩阵。如果不单位化，f的矩阵A仅仅是对角阵，其行列式不是1，与标准做法得到的结果无非相差一个伸缩变换而已。
例：x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=0，A=...
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实对称矩阵是可以相似对角化，（额，我们一般会叫相合，因为是正交矩阵，其逆矩阵即为转置矩阵，相似变换即为相合变换了），所以第四步不用正交化了，直接单位化即可，因为你这是在求“标准形”，二次项系数若非0则必为1。此时C为单位正交矩阵。如果不单位化，f的矩阵A仅仅是对角阵，其行列式不是1，与标准做法得到的结果无非相差一个伸缩变换而已。
例：x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=0，A=(1 1 1 ,1 1 1 ,1 1 1)，特征值3,0，3对应特征向量(1 ,1 ,1)'，0对应特征向量(-1 ,1 ,0)'和(-1 ,0 ,1)'，单位化得到C=(根号3/3 -根号2/2 -根号2/2 ,根号3/3 根号2/2 0 , 根号3/3 0 根号2/2 ) ,则变换后二次型的新矩阵为(1 0 0,0 0 0,0 0 0)即新二次型为x^2=0，若不单位化，则变换后二次型的新矩阵为(9 0 0,0 0 0,0 0 0)即新二次型为9x^2=0，ps:我举了个平面的例子，一般的曲面也对.。
对于后边问的，“第三步到第五步有这个必要吗？求出特征值之后，直接写出f=λ1y1^2+λ2y2^2+λ3y3^2.。。。不就可以了吗？”是可以直接写的，但题目有时会问你用的什么变换，要具体写出变换，这仅仅是题目考法，要不算个特征值那就太简单了。。。
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