求幂级数 ∑（∞,n→0）(2n+1)x^n的收敛域及和函数.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/10/05 00:56:10
求幂级数 ∑（∞,n→0）(2n+1)x^n的收敛域及和函数.
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求幂级数 ∑（∞,n→0）(2n+1)x^n的收敛域及和函数.
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∑（∞,n→0）(2n+1)x^n
R=lim|2n-1/2n+1|=1
x=1时∑（∞,n→0）(2n+1)发散,
x=-1时∑（∞,n→0）(-1)^n(2n+1)也发散,
所以收敛域为（-1,1）
令s(x)=∑（∞,n→0）(2n+1)x^n=∑（∞,n→1）2nx^n+∑（∞,n→0）x^n
再令∑（∞,n→1）2nx^n=s1(x)
s1(x)=2x∑（∞,n→1）nx^(n-1)
=2x∑（∞,n→1）(x^n)'
=2x(∑（∞,n→1）x^n)'
=2x[x/(1-x)]'
=2x/(1-x)^2
而∑（∞,n→0）x^n=1/(1-x)
所以s(x)=2x/(1-x)^2+1/(1-x)=(1+x)/(1-x)^2
∑（∞,n→0）(2n+1)x^n=(1+x)/(1-x)^2,x属于（-1,1）

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