已知圆C 经过点A《-2.0》,B《0.2》且圆心在直线y=X上 又直线L Y=Kx+1与圆C交于P,Q两点求圆C 方程 是否存在实数K 使OP垂直OQ 说明理由 过点《0.1》作直线M垂直L 交于圆C与MN两点 求四边形PMQN的面积
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/15 08:17:29
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已知圆C 经过点A《-2.0》,B《0.2》且圆心在直线y=X上 又直线L Y=Kx+1与圆C交于P,Q两点求圆C 方程 是否存在实数K 使OP垂直OQ 说明理由 过点《0.1》作直线M垂直L 交于圆C与MN两点 求四边形PMQN的面积
已知圆C 经过点A《-2.0》,B《0.2》且圆心在直线y=X上 又直线L Y=Kx+1与圆C交于P,Q两点
求圆C 方程 是否存在实数K 使OP垂直OQ 说明理由 过点《0.1》作直线M垂直L 交于圆C与MN两点 求四边形PMQN的面积最大值
已知圆C 经过点A《-2.0》,B《0.2》且圆心在直线y=X上 又直线L Y=Kx+1与圆C交于P,Q两点求圆C 方程 是否存在实数K 使OP垂直OQ 说明理由 过点《0.1》作直线M垂直L 交于圆C与MN两点 求四边形PMQN的面积
第一个问题:
方法一:
∵点C在直线y=x上,∴可设C的坐标为(a,a),半径为r.
这样,⊙C的方程就可以写成:(x-a)^2+(y-a)^2=r^2.
∵点A(-2,0)、B(0,2)在⊙C上,∴(-2-a)^2+a^2=r^2、a^2+(2-a)^2=r^2,
比较上述两式,得:(-2-a)^2=(2-a)^2,∴4+4a+a^2=4-4a+a^2,∴a=0,
从而容易得出:r^2=4.
∴满足条件的⊙C的方程是:x^2+y^2=4.
方法二:
∵⊙C过点A(-2,0)、B(0,2),∴C一定在AB的中垂线上.
由A、B的坐标,容易得出:OA=OB,∴AB的中垂线就是∠AOB的角平分线,
∴点C在直线y=-x上,又点C在直线y=x上,∴点C就是坐标原点.
∴⊙C的半径=AC=OA=2.
∴⊙C的方程是:x^2+y^2=4.
第二个问题:
设存在满足条件的K.
联立:x^2+y^2=4、y=Kx+1,消去y,得:x^2+(Kx+1)^2=4,
∴(1+K^2)x^2+2Kx-3=0.
∵P、Q都在直线y=Kx+1上,∴可设P、Q的坐标分别为(m,Km+1)、(n,Kn+1).
显然,m、n是方程(1+K^2)x^2+2Kx-3=0的两根,∴由韦达定理,有:
m+n=-2K/(1+K^2)、mn=-3/(1+K^2).
很明显,向量OP=(m,Km+1)、向量OQ=(n,Kn+1).
∵OP⊥OQ,∴向量OP·向量OQ=0,∴mn+(Km+1)(Kn+1)=0,
∴mn+K^2mn+K(m+n)+1=0,∴(1+K^2)mn+K(m+n)+1=0,
∴(1+K^2)[-3/(1+K^2)]+K[-2K/(1+K^2)]+1=0,
∴-2-2K^2/(1+K^2)=0,∴K^2/(1+K^2)=-1,∴K^2=-1-K^2,
∴2K^2=-1<0,这自然是不合理的.
∴满足条件的K不存在.
第三个问题:
∵PQ的斜率为K,又MN⊥PQ,∴MN的斜率为-1/K.
∴MN的方程为:y=-(1/K)x+1.
联立:x^2+y^2=4、y=-(1/K)x+1,消去y,得:x^2+[-(1/K)x+1]^2=4,
∴(1+1/K^2)x^2-(2/K)x-3=0.
∵M、N都直线y=-(1/K)x+1上,
∴可设M、N的坐标分别为(p,-(1/K)p+1)、(q,-(1/K)q+1).
显然,p、q是方程(1+1/K^2)x^2-(2/K)x-3=0的两根,∴由韦达定理,有:
p+q=(2/K)/(1+1/K^2)=2K/(1+K^2)、pq=-3/(1+1/K^2)=-3K^2/(1+K^2).
∵PQ=√[(m-n)^2+(Km-Kn)^2]=√[(1+K^2)(m-n)^2],
MN=√{(p-q)^2+[(1/K)p-(1/K)q]^2}=√[(1+1/K^2)(p-q)^2].
∴PQ×MN=√{[(1+K^2)^2/K^2](m-n)^2(p-q)^2}.
∴S(四边形PMQN)
=(1/2)PQ×MN=(1/2)√{[(1+K^2)^2/K^2](m-n)^2(p-q)^2}.
∵m+n=-2K/(1+K^2)、mn=-3/(1+K^2),
∴(m+n)^2-4mn
=4K^2/(1+K^2)^2+12/(1+K^2)=(12+16K^2)/(1+K^2)^2.
∵p+q=2K/(1+K^2)、pq=-3K^2/(1+K^2),
∴(p+q)^2-4pq
=4K^2/(1+K^2)^2+12K^2/(1+K^2)=(16K^2+12K^4)/(1+K^2)^2.
∴[(m+n)^2-4mn][(p+q)^2-4pq]
=(12+16K^2)(16K^2+12K^4)/(1+K^2)^4.
显然,当[(1+K^2)^2/K^2](m-n)^2(p-q)^2有最大值时,
S(四边形PMQN)有最大值.
∵[(1+K^2)^2/K^2](m-n)^2(p-q)^2
=[(1+K^2)^2/K^2][(m+n)^2-4mn][(p+q)^2-4pq]
=[(1+K^2)^2/K^2][(12+16K^2)(16K^2+12K^4)/(1+K^2)^4]
=(12+16K^2)(16+12K^2)/(1+K^2)^2
=16[(3+4K^2)/(1+K^2)][(4+3K^2)/(1+K^2)]
=16[4-1/(1+K^2)][1/(1+K^2)+3]
=16[12+1/(1+K^2)-1/(1+K^2)^2]
=16[13-3/4-1/4+1/(1+K^2)-1/(1+K^2)^2]
=16(13-3/4)-16[1/2-1/(1+K^2)]^2.
∴当1/2-1/(1+K^2)=0时,
[(1+K^2)^2/K^2](m-n)^2(p-q)^2有最大值=16(13-3/4)=4×49.
∴(1/2)√{[(1+K^2)^2/K^2](m-n)^2(p-q)^2}的最大值=(1/2)×2×7=7.
∴S(四边形PMQN)的最大值是7.
令圆C的方程为:(x-a)²+(y-a)²=r²
代入(-2,0);(0,2)得:
{(-2-a)²+a²=r²
{a²+(2-a)²=r²
解得:{a=0,r=2
x²+y²=4