存在无数多个除4余3的质数吗要写出证明

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/29 12:50:29
存在无数多个除4余3的质数吗要写出证明
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存在无数多个除4余3的质数吗要写出证明
存在无数多个除4余3的质数吗
要写出证明

存在无数多个除4余3的质数吗要写出证明
首先,因为3=4*0+3,7=4*1+3,所以4n+3形式的质数存在.
假设这样形式的质数只有有限多个,设它们的最大的一个为P.
那么将小于P的所有质数（除了2和3）都乘起来：
Q=5*7*11*……*P
考察4Q+3.
首先,2不能整除4Q+3,3不能整除4Q+3.
其次,如果4Q+3是质数,则它是已知的另一个质数.与反设矛盾.
如果4Q+3不是质数,那么它含有素因子,假设4Q+3=S1^r1*……*Sn^rn（Si是素因子,ri是幂次）.显然从2到P的所有质数都不是Si中的任意一个.
如果S1~Sn都是4n+1形式的质数,那么它们的乘积也必然是4n+1形式的质数,与4Q+3矛盾.
因此,S1~Sn中必然有4n+3形式的质数.这是不同于2~P的质数,与反设矛盾.
因此4n+3形式的质数有无限多个.

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