定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a,b∈R,有f(a+b)=f(a)*f(b) 1)证明对任意的x∈R,恒有f(x)>0 2)判断函数y=f(x)的单调性 小妹拜谢!
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/09/05 23:04:30
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定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a,b∈R,有f(a+b)=f(a)*f(b) 1)证明对任意的x∈R,恒有f(x)>0 2)判断函数y=f(x)的单调性 小妹拜谢!
定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a,b∈R,有f(a+b)=f(a)*f(b)
1)证明对任意的x∈R,恒有f(x)>0
2)判断函数y=f(x)的单调性
小妹拜谢!
定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a,b∈R,有f(a+b)=f(a)*f(b) 1)证明对任意的x∈R,恒有f(x)>0 2)判断函数y=f(x)的单调性 小妹拜谢!
(1)f(a+b)=f(a)*f(b),则
f(0+0)=f(0)^2
又f(0)≠0,则
f(0)=1
当x0 ,则
f(a+b)>0
若f(x)0与f(a+b)0
(2)令b=-a,且a>0,则
f(a)*f(-a)=1
又当x>0时,f(x)>1,则
f(a)>1,0
(1)
f(0)=f(0+0)=f(0)*f(0)
因为f(0)≠0,所以f(0)=1.
若存在x<0,使得f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)*f(-x)=0,与f(0)=1矛盾。所以对任意的x∈R,恒有f(x)≠0。
对任意的x∈R
f(x)=f(x/2+x/2)=f(x/2)*f(x/2) 恒大于0
(2)任意的k>0,,x∈R,...
全部展开
(1)
f(0)=f(0+0)=f(0)*f(0)
因为f(0)≠0,所以f(0)=1.
若存在x<0,使得f(x)=0,则f(0)=f(x-x)=f(x)*f(-x)=0,与f(0)=1矛盾。所以对任意的x∈R,恒有f(x)≠0。
对任意的x∈R
f(x)=f(x/2+x/2)=f(x/2)*f(x/2) 恒大于0
(2)任意的k>0,,x∈R,有x+k>x
f(x+k)-f(x)=f(x)*f(k)-f(x)=f(x)*(f(k)-1)
因为f(x)>0,当k>0时,f(k)>1
所以f(x+k)-f(x)〉0
所以f(x)在R上单调递增。
收起
不妨设a=b=0,则f(0)=f(0)*f(0),又(0)≠0,=>f(0)=1,设b=-a≠0,则f(0)=f(a)*f(-a)=1,=>f(a)同号,又当x>0时f(x)>1>0,=>f(x)>0
上面解的很好,我只说一点,为什么不设b=0哪?这样就可以很简单得出f(0)=1不是吗?