求证：1+2+2^2+……+2^(5N--1)能整除31 N为自然数

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/17 05:55:51
求证：1+2+2^2+……+2^(5N--1)能整除31 N为自然数
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求证：1+2+2^2+……+2^(5N--1)能整除31 N为自然数
求证：1+2+2^2+……+2^(5N--1)能整除31 N为自然数

求证：1+2+2^2+……+2^(5N--1)能整除31 N为自然数
这道题我觉得可以用二进制来证
31化为二进制是11111
1+2+2^2+……+2^(5N--1)化为二进制是（11111...1）5N个1；
显然后者能够整除前者

原式=2^0+2^1+2^2+2^3+…+2^（5N-1）
=2^（5N）-1
即求证31丨（2^（5N）-1）
证明：2^（5N）-1
=（2^5-1）*（2^（（N-1）*5）+2^（（N-2）*5）+……+2^5+2^0））
=31*（2^（（N-1）*5）+2^（（N-2）*5）+……+2^5+2^0））
显然后面一项是N+
∴31丨...

全部展开

原式=2^0+2^1+2^2+2^3+…+2^（5N-1）
=2^（5N）-1
即求证31丨（2^（5N）-1）
证明：2^（5N）-1
=（2^5-1）*（2^（（N-1）*5）+2^（（N-2）*5）+……+2^5+2^0））
=31*（2^（（N-1）*5）+2^（（N-2）*5）+……+2^5+2^0））
显然后面一项是N+
∴31丨2^0+2^1+2^2+2^3+…+2^（5N-1）
证毕

收起

求证(2n)!/2^n*n!=1*3*5*……*(2n-1) 求证：Cn0+3Cn1+5Cn2+…+(2n+1) Cnn=(n+1)2n 求证Cn0Cn1+Cn1Cn2+……+Cn(n-1)Cnn=(2n)!/(n-1)!(n+1)! 已知:n属于N且n=2,求证：1/2+1/3+…+1/n 求证：1*2+2*5+3*8+…+n(3n-1)=n^2(n+1) 求证：1*2+2*5+3*8+…+n(3n-1)=n^2(n+1) 求证:（2n）!／2∧n·n!=1·3·5…（2n-1） 求证：n^2+2n 求证：N=(5^2)*(3^2n+1)*(2^n)-(3^n)*(6^n+2) 求证(n2+n)/2 求证1!+2*2!+3*3!+…+n*n!=(n+1)!-1 求证：1+1/2+1/3+ …+1/n > ln(n+1) ( n∈正整数） f(x)=e^x-x 求证(1/n)^n+(2/n)^n+...+(n/n)^n 求证：1+2+2^2+2^3+…+2^(5n-2)能被31整除（n∈N） 求证(n+1)(n+2)(n+3)……(n+n)=2^n*1*3*……*(2n-1) 求证1^2/1.3+2^2/3.5+…+x^2/（(2n-1)(2n+1)）=(n(n+1)/(2(2n+1)),n属于N 已知n ∈N,且n>1,求证(1+2/3)(1+2/7)…(1+2/(4n-1))>5/21√(28n+2) 求证1/2^+1/3^+……+1/n^