A为n阶方阵,r(A)=r,证存在n阶可逆矩阵P,使PAP^-1的后n-r行全为零

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/11 11:42:30
A为n阶方阵,r(A)=r,证存在n阶可逆矩阵P,使PAP^-1的后n-r行全为零
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A为n阶方阵,r(A)=r,证存在n阶可逆矩阵P,使PAP^-1的后n-r行全为零
A为n阶方阵,r(A)=r,证存在n阶可逆矩阵P,使PAP^-1的后n-r行全为零

A为n阶方阵,r(A)=r,证存在n阶可逆矩阵P,使PAP^-1的后n-r行全为零
证明：
存在 可逆阵P 使得 PAP^(-1)=B
其中 B是分块矩阵,其左上角的 r*r 子阵B_11 可逆,其余3块都为0.
构造M0 = B C,其中 C是分块矩阵,其右下角是 （n-r)*(n-r)的单位阵E_(n-r),其余3块都为0.
构造Mi,i=1,...,n-r,如下：
Mi 为对角阵,其对角线元素都为1,但有一个例外：第n-i 1个元素为0.
显然 B=M0*M1*...*M(n-r),其中 M0 可逆,r(Mi) = n-1,i=1,...,n-r.
所以 A=P^(-1)BP
= P^(-1)M0*M1*...*M(n-r)P
= D1*D2*.*D(n-r),
其中,D1= P^(-1)M0*M1,
Di = Mi,i = 2,...,n-r-1,
D(n-r)=M(n-r)*P,
为n-r个秩为n-1的n阶矩阵的乘积

方程组 A^T x=0 的解空间是n-r维的，取一组基础解系出来作为P^T的最后r列即可。

A为n阶方阵,r(A)=r,证存在n阶可逆矩阵P,使PAP^-1的后n-r行全为零 对于任何秩为R的N阶非奇方阵A,求证：存在秩为N-R的N阶奇异方阵B,使BA=0 若A为n阶实方阵,证:r(A)=r(AT A) 线性代数：设A为n阶方阵,若R(A) 设A为n阶方阵,R（A） （线性代数）设A,B为n阶方阵,证明:r(AB)>=r(A)+r(B)-n 设A为n阶方阵,且A*A=A,证明R(A)+R(A-E)=n. 线性代数中,A为n阶方阵,R(A)=r 设A为n阶（n≥2）方阵,证明r(A*)= n ,r(A)=n r(A*)= 1,r(A)=n-1 r(A*)= 0,r(A) 设A为n阶方阵,AA=A ,证明R（A）+R（A-E）=n 设n阶方阵A的秩为r 设A是n阶方阵,若存在n阶方阵B不等于0,使AB=0,证明R（A)小于n. 设A是N阶方阵,若存在N阶方阵B不等于零,使AB=0,证明R（A）《N A,B为n阶方阵,且r(A)=r(B).证明：存在可逆矩阵M ,使AMB=O 设A为n阶方阵,E为n阶单位矩阵,证明R(A+E)+R(A-E)》n, n阶方阵A,B,有A+B=kE.证：r（A）+r（B）大于等于n 设A为n阶方阵,且A2=A,则R(A)+ R(A- E) = 设A为n阶方阵,r(A)=r1,r(A+E)=r2,r(A+2E)=r3,且r1+r2+r3=2n.证明A可对角化.