定义域为R的偶函数f(x)对任意x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且当x∈[2,3]时,f(x)=-2x²+12x-18,若函数y=f(x)-log以a为底(lxl+1)在（0,﹢∞）上至少有三个零点,则a的取值范围?

定义域为R的偶函数f(x)对任意x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且当x∈[2,3]时,f(x)=-2x²+12x-18,若函数y=f(x)-log以a为底(lxl+1)在（0,﹢∞）上至少有三个零点,则a的取值范围?
定义域为R的偶函数f(x)对任意x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且当x∈[2,3]时,f(x)=-2x²+12x-18,
若函数y=f(x)-log以a为底(lxl+1)在（0,﹢∞）上至少有三个零点,则a的取值范围?

定义域为R的偶函数f(x)对任意x∈R,有f(x+2)=f(x)-f(1),且当x∈[2,3]时,f(x)=-2x²+12x-18,若函数y=f(x)-log以a为底(lxl+1)在（0,﹢∞）上至少有三个零点,则a的取值范围?
因为 f(x+2)=f(x)-f(1),且f(x)是定义域为R的偶函数
令x=-1 所以 f(-1+2)=f(-1)-f(1),
即 f(1)=0 则有,f(x+2)=f(x) ,
f(x)是周期为2的偶函数
当x∈[2,3]时,f(x)=-2x²+12x-18,=-2（x-3）ˆ2
图像为开口向下,顶点为（3,0）的抛物线
作f(x)是周期为2的图像,
显然y=f(x)-log（a）(lxl+1)在（0,﹢∞）上至少有三个零点,必然af(2)
即log（a）3>-2
3>aˆ（-2）
即有 a>√3/3
所以有
√3/3

定义域为R的偶函数f(x) f(-x)=f(x)
f(x+2)=f(x)-f(1) f(-x+2)=f(-x)-f(1)=f(x)-f(1)=f(x+2)
f(-x+2)=f(x+2)
∴f(x)关于x=2对称
f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[-(x+2)+2]=f(-x)=f(x)
f(x)是周期为4的函数
当x∈[2,3]时 ...

全部展开

定义域为R的偶函数f(x) f(-x)=f(x)
f(x+2)=f(x)-f(1) f(-x+2)=f(-x)-f(1)=f(x)-f(1)=f(x+2)
f(-x+2)=f(x+2)
∴f(x)关于x=2对称
f(x+4)=f[(x+2)+2]=f[-(x+2)+2]=f(-x)=f(x)
f(x)是周期为4的函数
当x∈[2,3]时 f(x)=-2x²+12x-18=-2(x-3)²
∴当0当loga (|2|+1)>-2时函数y=f(x)-log以a为底(lxl+1)在（0，﹢∞）上至少有三个零点
loga 3>-2=loga a-²
3-√3/30

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当x=-1时，由f(x+2)=f(x)-f(1)得到f（1）=f（-1）-f（1）
又f(x)是定义域为R的偶函数，所以f（1）=f（-1）
所以f（1）=0，所以f(x+2)=f(x)，这样f（x）是周期为2的周期函数
因为在y=f(x)-log以a为底(lxl+1)在（0，﹢∞）上讨论
这样可以转化为方程f（x）=loga（x+1）在（0，﹢∞）的解得问题

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当x=-1时，由f(x+2)=f(x)-f(1)得到f（1）=f（-1）-f（1）
又f(x)是定义域为R的偶函数，所以f（1）=f（-1）
所以f（1）=0，所以f(x+2)=f(x)，这样f（x）是周期为2的周期函数
因为在y=f(x)-log以a为底(lxl+1)在（0，﹢∞）上讨论
这样可以转化为方程f（x）=loga（x+1）在（0，﹢∞）的解得问题
即函数f（x）和loga（x+1）的图像在（0，﹢∞）的交点至少有三个
这样通过作图，a>1排除
a只能在（0,1）之间
这样作图可知如果要有三个交点，那么必须满足
f（2）>loga(3)即：-2>loga(3)也即：loga（a的-2次方）>loga(3)
所以a的-2次方<3
所以a>√3/3结合上面0所以√3/3
注意：通过当x∈[2,3]时，f(x)=-2x²+12x-18和周期为2以及偶函数就可以作出f（x）的完整图像
因为电脑上不方便画图，所以不懂请追问

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定义域为R的偶函数f(x)对任意x∈R，有f(x+2)=f(x)-f(1),且当x∈[2,3]时，f(x)=-2x²+12x-18, 若函数y=f(x)-log以a为底(lxl+1)在（0，﹢∞）上至少有三个零点，则a的取值范围？

解析：∵定义域为R的偶函数f(x)对任意x∈R，有f(x+2)=f(x)-f(1)

∴f(-x)=f(x)

令x=1==>f(1+2)=f(1)-f(1)=0==>f(3)=0

f(-1)=f(1)==>f(-1+2)=f(-1)-f(1)=0==>f(1)=0

∴f(x)=f(x+2)

∴f(x)是以2为最小正周期的周期函数

∵当x∈[2,3]时，f(x)=-2x^2+12x-18

∵若函数y=f(x)图像同时关于直线x=a和直线x=b成轴对称（a≠b），则y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是其一个周期。

2|0-b|=2==>b=±1

∴k∈Z均是函数f(x)的对称轴

∴当x∈[2,4]时，f(x)=-2x^2+12x-18

当x∈[0,2]时，f(x)=-2(x+2)^2+12(x+2)-18

∵函数y=f(x)-log(a,lxl+1)在（0,+∞）上至少有三个零点

f(2)=-26+24=-2

设g(x)= log(a,lxl+1)

令g(2)= log(a,l2l+1)>-2==>a^(-2)>3==>a^2<1/3=a<√3/3

∴函数y=f(x)-log(a,lxl+1)在（0,+∞）上至少有三个零点, a的取值范围为0<a<√3/3

如下图所示：红色曲线a>√3/3，青色曲线a=√3/3，兰色曲线0a<√3/3