定积分sinX/{4-(cosX)^2} 区间0到π/2

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/27 12:36:32
定积分sinX/{4-(cosX)^2} 区间0到π/2
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定积分sinX/{4-(cosX)^2} 区间0到π/2
定积分sinX/{4-(cosX)^2} 区间0到π/2

定积分sinX/{4-(cosX)^2} 区间0到π/2
解答见图片.

设t=cosx 则dt=-sinxdx ∫（0到π/2 ）sinX/{4-(cosX)^2} dx
=∫（1到0 ）-1/{4-(t)^2} dt=∫（0到1）dt/4[2-t)+1/(2+t)]
=0.25[-ln(2-t)+ln(2+t)]|（0到1）=0.25ln3

∫[sinX/{4-(cosX)^2}]dx=－∫1/{4-(cosX)^2}d(cosX)
令y=cosX，y=1→0。注意到其中的负号和y取值的递减，原式=∫(0→1)1/{4-y^2}dy
=0.25[∫(0→1)1/{2+y}dy+∫(0→1)1/{2-y}dy]=0.25[∫(0→1)d(ln(2+y))－∫(0→1)d(ln(2-y))]，区间为(0→1)。
即...

全部展开

∫[sinX/{4-(cosX)^2}]dx=－∫1/{4-(cosX)^2}d(cosX)
令y=cosX，y=1→0。注意到其中的负号和y取值的递减，原式=∫(0→1)1/{4-y^2}dy
=0.25[∫(0→1)1/{2+y}dy+∫(0→1)1/{2-y}dy]=0.25[∫(0→1)d(ln(2+y))－∫(0→1)d(ln(2-y))]，区间为(0→1)。
即，原式=(ln(2+y)|[1,0]-ln(2-y)|[1,0])/4。
=([ln3-ln2]-[ln2-ln1])/4=0.25ln3。

收起

原式=-∫dcosx/(2+cosx)(2-cosx)
=-∫1/4*[1/(2+cosx)+1/(2-cosx)]dcosx
=-1/4*[ln|2+cosx|-ln|cosx-2|,0,π/2
=-1/4*[(ln2-ln2)-(ln3-ln1)]
=(ln3)/4

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