数列﹛an﹜的前n项和为Sn=2an-2,数列﹛bn﹜是首项为a1,公差不为零的等差数列,且b1,b3,b11成等比数列.(1)求a1,a2,a3的值(2)求数列﹛an﹜与﹛bn﹜的通项公式(3)求证:b1/a1+b2/a2+b3/a3+.+bn/an<5
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/27 08:32:11
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数列﹛an﹜的前n项和为Sn=2an-2,数列﹛bn﹜是首项为a1,公差不为零的等差数列,且b1,b3,b11成等比数列.(1)求a1,a2,a3的值(2)求数列﹛an﹜与﹛bn﹜的通项公式(3)求证:b1/a1+b2/a2+b3/a3+.+bn/an<5
数列﹛an﹜的前n项和为Sn=2an-2,数列﹛bn﹜是首项为a1,公差不为零的等差数列,
且b1,b3,b11成等比数列.
(1)求a1,a2,a3的值
(2)求数列﹛an﹜与﹛bn﹜的通项公式
(3)求证:b1/a1+b2/a2+b3/a3+.+bn/an<5
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(1)a1=S1=2a1-2
a1=2
a2=S2-a1=2a2-2-2
a2=4
a3=S3-a2-a1=2a3-2-4-2
a3=8
所以a1=2 a2=4 a3=8
(2)an=Sn-S(n-1)=2an-2-[2a(n-1)-2]=2an-2a(n-1)
an=2a(n-1)
a1=2
所以an=2^n
设bn=2+(n-1)d
b1=2 b3=2+2d b11=2+10d
因为b1 b3 b11成等比数列
所以(2+2d)^2=2(2+10d)
1+2d+d^2=1+5d
d^2-3d=0
d=3或0(舍去)
所以bn=2+3(n-1)=3n-1
所以an=2^n bn=3n-1
(3)令Tn=bn/an Bn=T1+T2+...+Tn
Tn=(3n-1)/2^n
Bn=2/2^1+5/2^2+...+(3n-1)/2^n
2Bn=2/2^0+5/2^1+...+(3n-1)/2^(n-1)
所以2Bn-Bn=2+3[1/2^1+1/2^2+...+1/2^(n-1)]-(3n-1)/2^n
Bn=2+3*(1/2)*[1-1/2^(n-1)]/(1-1/2)-(3n-1)/2^n
=2+3-3/2^(n-1)-(3n-1)/2^n
=5-3/2^(n-1)-(3n-1)/2^n
因为3/2^(n-1)>0且(3n-1)/2^n>0
所以Bn