如图,以直角三角形ABC的两直角边AC,BC分别为边做等边三角形ACE,等边三角行BCF,M,P,N分别是AE,AB,BF的中点,则线段MP与线段NP有怎样的大小关系?说明理由.夹角是多少度?为什么?如果直角三角形ABC改
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/11 10:41:43
![如图,以直角三角形ABC的两直角边AC,BC分别为边做等边三角形ACE,等边三角行BCF,M,P,N分别是AE,AB,BF的中点,则线段MP与线段NP有怎样的大小关系?说明理由.夹角是多少度?为什么?如果直角三角形ABC改](/uploads/image/z/7174717-61-7.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E4%BB%A5%E7%9B%B4%E8%A7%92%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E7%9A%84%E4%B8%A4%E7%9B%B4%E8%A7%92%E8%BE%B9AC%2CBC%E5%88%86%E5%88%AB%E4%B8%BA%E8%BE%B9%E5%81%9A%E7%AD%89%E8%BE%B9%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ACE%2C%E7%AD%89%E8%BE%B9%E4%B8%89%E8%A7%92%E8%A1%8CBCF%2CM%2CP%2CN%E5%88%86%E5%88%AB%E6%98%AFAE%2CAB%2CBF%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%2C%E5%88%99%E7%BA%BF%E6%AE%B5MP%E4%B8%8E%E7%BA%BF%E6%AE%B5NP%E6%9C%89%E6%80%8E%E6%A0%B7%E7%9A%84%E5%A4%A7%E5%B0%8F%E5%85%B3%E7%B3%BB%3F%E8%AF%B4%E6%98%8E%E7%90%86%E7%94%B1.%E5%A4%B9%E8%A7%92%E6%98%AF%E5%A4%9A%E5%B0%91%E5%BA%A6%3F%E4%B8%BA%E4%BB%80%E4%B9%88%3F%E5%A6%82%E6%9E%9C%E7%9B%B4%E8%A7%92%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E6%94%B9)
如图,以直角三角形ABC的两直角边AC,BC分别为边做等边三角形ACE,等边三角行BCF,M,P,N分别是AE,AB,BF的中点,则线段MP与线段NP有怎样的大小关系?说明理由.夹角是多少度?为什么?如果直角三角形ABC改
如图,以直角三角形ABC的两直角边AC,BC分别为边做等边三角形ACE,等边三角行BCF,M,P,N分别是AE,AB,BF的
中点,则线段MP与线段NP有怎样的大小关系?说明理由.夹角是多少度?为什么?如果直角三角形ABC改成锐角三角形,上述结论是否仍然成立?
如图,以直角三角形ABC的两直角边AC,BC分别为边做等边三角形ACE,等边三角行BCF,M,P,N分别是AE,AB,BF的中点,则线段MP与线段NP有怎样的大小关系?说明理由.夹角是多少度?为什么?如果直角三角形ABC改
线段MP与线段NP有怎样的大小关系是相等.夹角是120度. 如果直角三角形ABC改成锐角三角形,上述结论仍然成立.
理由:
连接BE,AF
则 MP是△AEB的中位线,NP是△AFB的中位线
从而 MP=EB/2 NP=AF/2
在△BCE与△ACF中
AC=EC ①
BC=CF ②
∠ECB=∠ACE+∠ACB=60°+90°=150°
∠ACF=∠FCB+∠ACB=60°+90°=150°
从而 ∠ECB=∠ACF ③
由①②③得 △BCE≌△ACF
(边,角,边)
从而 EB=AF ④又已得 MP=EB/2 ⑤ NP=AF/2 ⑥
由④⑤⑥得 MP=NP
设EB与AF相交于O
由 △BCE≌△ACF 得 ∠CEB=∠CAF
从而 A,E,C,O四点共圆(四个点连成共底边的两个三角形,且两三角形都在这底边的同侧,若其顶角相等(同弧所对的圆周角相等
),从而即可肯定这四点共圆)得 ∠EOC=∠EAC=60°⑦
同理可得 ∠COF=∠CBF=60°⑧
又 MP是△AEB的中位线,NP是△AFB的中位线
从而 由⑦⑧得 ∠MPC=∠EOC=60°⑨ ∠NPC=∠COF=60°⑩
由⑨⑩得 ∠MPN=∠MPC+∠NPC=60°+60°=120°
如果直角三角形ABC改成锐角三角形,根据上面推理,得到上述结论仍然成立.