斯托克斯公式的理解问题如果把斯托克斯公式的左边理解成一个力F在一条封闭曲线Γ上做的功,那么很显然这个环积分的值与坐标系的选择是无关的,但是对于右边的旋度在曲面∑上的通量,怎

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/24 01:44:34
斯托克斯公式的理解问题如果把斯托克斯公式的左边理解成一个力F在一条封闭曲线Γ上做的功,那么很显然这个环积分的值与坐标系的选择是无关的,但是对于右边的旋度在曲面∑上的通量,怎
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斯托克斯公式的理解问题如果把斯托克斯公式的左边理解成一个力F在一条封闭曲线Γ上做的功,那么很显然这个环积分的值与坐标系的选择是无关的,但是对于右边的旋度在曲面∑上的通量,怎
斯托克斯公式的理解问题
如果把斯托克斯公式的左边理解成一个力F在一条封闭曲线Γ上做的功,那么很显然这个环积分的值与坐标系的选择是无关的,但是对于右边的旋度在曲面∑上的通量,怎么说明它也与坐标系的选择无关?

斯托克斯公式的理解问题如果把斯托克斯公式的左边理解成一个力F在一条封闭曲线Γ上做的功,那么很显然这个环积分的值与坐标系的选择是无关的,但是对于右边的旋度在曲面∑上的通量,怎
我不知道你想问什么,因为所有积分的值都与坐标系无关,那是因为有所谓的“微分的形式不变性”,或者讲“换元法”.换元法说的就是一个坐标内的积分,可以在另一个（微分等价的）坐标内来做.
而旋度也是与坐标无关的定义,虽然在有坐标的时候,它按照坐标来定义,但是不管你怎么定义,对E^3的向量场X,设和它对偶的一次形式场为w,也就是w(Y) = ,dw是二次形式场,设Z是和*dw(*是Hodge star operator)对偶的那个向量场,那么Z就是X的旋度.你可以验证下这个定义和一般基于坐标的定义一致,并且满足上面给的方程（实际上上面给的方程也用来定义旋度）.这些定义都是不依赖于坐标的,也就是说,旋度是几何量.
不知道这是不是你要问的.
更具体一点：
设 w 是 与 F 对偶的一次形式场,用 \int_C 记在封闭路径 C 上的线积分,\int_S 是在曲面 S 上的面积分.ds 是 C 上的线元,dS 是 S 上的面元.i : C -> E^3 是包含映射, i^*是回拉.T 是 C 上的单位切向量,n 是 S 上的单位外法向量.
那么左边 \int_C
= \int_C < F, T*ds>
= \int_C ds
= \int_C w(T) ds
注意到 (i^*)(w)(T) = w(T) = w(T)*ds(T)
所以 (i^*)(w) = w(T)ds
这个式子说,w 在 C 上的限制,等于w(T)ds
所以上面的积分 \int_C w(T) ds
= \int_C (i^*)(w) （由 Stokes 公式）
= \int_S dw
记 curlF 是 F 的旋度,则

= (*dw)(n)
对任意S上一点的单位正交切向量X, Y, dS(X,Y)=1
所以 dS ( X,Y)
=
= (*dw)(n)
= dw(X, Y)
所以 dS = dw
所以上面的积分等于右边.

斯托克斯公式2 高数 斯托克斯公式 斯托克斯公式的理解问题如果把斯托克斯公式的左边理解成一个力F在一条封闭曲线Γ上做的功,那么很显然这个环积分的值与坐标系的选择是无关的,但是对于右边的旋度在曲面∑上的通量,怎 斯托克斯公式是如何发现的 斯托克斯公式的应用条件是什么? 谁能帮我看下这个高数题,关于微积分斯托克斯公式的理解 斯托克沉降公式是什么? 斯托克斯公式好复杂,有什么用? 高数 用斯托克斯公式计算曲线积分 斯托克斯公式中的曲面可以任取吗 斯托克斯公式与伽利略重力实验矛盾吗, 斯托克斯 高数斯托克斯公式问题.利用斯托克斯公式把曲面积分化为曲线积分,并计算积分值,其中A、S及n分别如下:A=(y-z)i+yzj-xzk,S为立方体0 高斯公式,斯托克斯公式,格林公式,有什么联系啊 高等数学中格林公式、高斯公式、斯托克斯公式如何灵活应用? 斯托克斯公式的正方向是怎么规定的 利用斯托克斯公式计算曲线积分的一道题 求数学大师来帮我解答2、3题,斯托克斯公式的,