x,y,z分别为三角形的三边 求证(x2+y2-z2)/2xy+(x2+z2-y2)/2xz+(y2+z2-x2)/2yz>1x2指x的平方
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 08:28:39
x,y,z分别为三角形的三边 求证(x2+y2-z2)/2xy+(x2+z2-y2)/2xz+(y2+z2-x2)/2yz>1x2指x的平方
x,y,z分别为三角形的三边 求证(x2+y2-z2)/2xy+(x2+z2-y2)/2xz+(y2+z2-x2)/2yz>1
x2指x的平方
x,y,z分别为三角形的三边 求证(x2+y2-z2)/2xy+(x2+z2-y2)/2xz+(y2+z2-x2)/2yz>1x2指x的平方
(x2+y2-z2)/2xy+(x2+z2-y2)/2xz+(y2+z2-x2)/2yz>1等价于
COSA+COSB+COSC>1等价于COSA+COSB>1-COSC等价于2COS(A+B)/2 *cos(A-B)/2>2(sin(C/2))^2因为A+B)/2+C/2=90度 即证2COS(A+B)/2 *cos(A-B)/2>2(cos(A+B/2))^2
即证cos(A-B)/2>cos(A+B/2
即证cosA/2*cosB/2+sinA/2*sinB/2>cosA/2*cosB/2-sinA/2*sinB/2
即证2sinA/2*sinB/2>0
因为A/2,B/2都是锐角,显然成立
根据余弦定理,即证cosA+cosB+cosC>1
而cosA+cosB+cosC-1
=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]+[1-2sin(C/2)^2-1]
2sin(C/2)[cos[(A-B)/2]-sin(C/2)]
=2sin(C/2)[cos[(A-B)/2]-cos[(A+B)/2]]
=4sin(C/2)sin(A/2)sin(B/2)>0
所以cosA+cosB+cosC>1