高一函数【奇偶性】已知函数f(x)对一切实数x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,又f(3)=-2①判断f(x)奇偶性②试判断函数在R上的单调性③求f(x)在[-12,12]上的最大最
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/19 07:03:20
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高一函数【奇偶性】已知函数f(x)对一切实数x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,又f(3)=-2①判断f(x)奇偶性②试判断函数在R上的单调性③求f(x)在[-12,12]上的最大最
高一函数【奇偶性】
已知函数f(x)对一切实数x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,又f(3)=-2
①判断f(x)奇偶性
②试判断函数在R上的单调性
③求f(x)在[-12,12]上的最大最小值
高一函数【奇偶性】已知函数f(x)对一切实数x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0,又f(3)=-2①判断f(x)奇偶性②试判断函数在R上的单调性③求f(x)在[-12,12]上的最大最
1.令y=x=0,得f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),得f(0)=0
再令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)=0,得f(-x)=-f(x)
所以f(x)在R上为奇函数
2.设x1,x2为R上任意两实数,且x10,所以f(x2-x1)
令x=0有
f(y)=f(0)+f(y)
f(0)=0
令x=-y有
f(0)=f(x)+f(-x)
f(x)+f(-x)=0
奇函数
令x大于0
则x+y大于y
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(x+y)-f(y)=f(x)<0
令x+y=x1 y=x2
则x1>x2
f(x1)小于f(x2)
减函数
(1)令x=y=0,代入f(x+y)=f(x)+f(y)得
f(0)=0
再令y=-x,代入f(x+y)=f(x)+f(y),得
f(0)=f(x)+f(-x)=0
所以f(x)=-f(-x),即函数为奇函数
(2)在定义域内任取x1,x2,且x1
=f(x2-x1)+f(x1)<...
全部展开
(1)令x=y=0,代入f(x+y)=f(x)+f(y)得
f(0)=0
再令y=-x,代入f(x+y)=f(x)+f(y),得
f(0)=f(x)+f(-x)=0
所以f(x)=-f(-x),即函数为奇函数
(2)在定义域内任取x1,x2,且x1
=f(x2-x1)+f(x1)
所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)
因为x2-x1>0
所以f(x2-x1)<0
即f(x2)-f(x1)<0
又因为x2>x1
所以函数是在R上递减
(3)令x=y=3
则f(x+y)=f(6)=-4
再令x=y=6
则f(12)=2f(6)=-8
因为函数是奇函数
所以f(-12)=-f(12)=8
又因为函数是减函数
所以在[-12,12]内
函数的最大值是8,最小值是-8
收起
1)令x=y=0
f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0
令x=x,y=-x
f(0)=f(x)+f(-x)
f(x)=-f(-x)
函数在R上为奇函数
2)x>0时,f(x)<0,由函数为奇函数可知,当x<0时,f(x)>0,x=0,f(x)=0
现证明在x<0上f(x)的单调性(由奇函数图像可知x>0单调性)
设x1
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1)令x=y=0
f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0
令x=x,y=-x
f(0)=f(x)+f(-x)
f(x)=-f(-x)
函数在R上为奇函数
2)x>0时,f(x)<0,由函数为奇函数可知,当x<0时,f(x)>0,x=0,f(x)=0
现证明在x<0上f(x)的单调性(由奇函数图像可知x>0单调性)
设x1
f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)
由x2-x1>0
得f(x2-x1)<0
得f(x2)+f(-x1)<0
由奇函数知,f(-x1)=-f(x1)
f(x2)-f(x1)<0即f(x2)
则函数在R上单调递减
收起