向量组的线性相关与无关的题:若A为3阶方阵 α为3维列向量若A为3阶方阵,α为3维列向量,一直向量组α,Aα,A²α线性无关,且A³α=5Aα-3A²α,求证矩阵 B=(α,Aα,A^4α)可逆.我的想法是:可以
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/18 21:18:51
![向量组的线性相关与无关的题:若A为3阶方阵 α为3维列向量若A为3阶方阵,α为3维列向量,一直向量组α,Aα,A²α线性无关,且A³α=5Aα-3A²α,求证矩阵 B=(α,Aα,A^4α)可逆.我的想法是:可以](/uploads/image/z/8746603-43-3.jpg?t=%E5%90%91%E9%87%8F%E7%BB%84%E7%9A%84%E7%BA%BF%E6%80%A7%E7%9B%B8%E5%85%B3%E4%B8%8E%E6%97%A0%E5%85%B3%E7%9A%84%E9%A2%98%EF%BC%9A%E8%8B%A5A%E4%B8%BA3%E9%98%B6%E6%96%B9%E9%98%B5+%CE%B1%E4%B8%BA3%E7%BB%B4%E5%88%97%E5%90%91%E9%87%8F%E8%8B%A5A%E4%B8%BA3%E9%98%B6%E6%96%B9%E9%98%B5%2C%CE%B1%E4%B8%BA3%E7%BB%B4%E5%88%97%E5%90%91%E9%87%8F%2C%E4%B8%80%E7%9B%B4%E5%90%91%E9%87%8F%E7%BB%84%CE%B1%2CA%CE%B1%2CA%26%23178%3B%CE%B1%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%97%A0%E5%85%B3%2C%E4%B8%94A%26%23179%3B%CE%B1%3D5A%CE%B1-3A%26%23178%3B%CE%B1%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%E7%9F%A9%E9%98%B5+B%3D%28%CE%B1%2CA%CE%B1%2CA%5E4%CE%B1%29%E5%8F%AF%E9%80%86.%E6%88%91%E7%9A%84%E6%83%B3%E6%B3%95%E6%98%AF%EF%BC%9A%E5%8F%AF%E4%BB%A5)
向量组的线性相关与无关的题:若A为3阶方阵 α为3维列向量若A为3阶方阵,α为3维列向量,一直向量组α,Aα,A²α线性无关,且A³α=5Aα-3A²α,求证矩阵 B=(α,Aα,A^4α)可逆.我的想法是:可以
向量组的线性相关与无关的题:若A为3阶方阵 α为3维列向量
若A为3阶方阵,α为3维列向量,一直向量组α,Aα,A²α线性无关,且A³α=5Aα-3A²α,求证矩阵 B=(α,Aα,A^4α)可逆.
我的想法是:可以把题目转化为α,Aα,A²α线性无关,Aα,A²α,A³α线性相关,求证α,Aα,A^4α线性无关.不过还是没做出来.
向量组的线性相关与无关的题:若A为3阶方阵 α为3维列向量若A为3阶方阵,α为3维列向量,一直向量组α,Aα,A²α线性无关,且A³α=5Aα-3A²α,求证矩阵 B=(α,Aα,A^4α)可逆.我的想法是:可以
一楼答了一部分 关键部分没有.
证明:
A^4α
=A(A^3α)
=A(5Aα-3A^2α)
=5A^2α-3A^3α
=5A^2α-3(5Aα-3A^2α)
=5A^2α-15Aα+9A^2α
=14A^2α-15Aα
B=(α,Aα,A^4α) = (α,Aα,14A^2α-15Aα) = (α,Aα,A^2α)K
其中 K =
1 0 0
0 1 -15
0 0 14
因为 |K|=14≠0, 所以 K 可逆.
又由已知α,Aα,A^2α线性无关, 所以 (α,Aα,A^2α)可逆
故 B=(α,Aα,A^2α)K 可逆.
a
aaaaaaaaaa
A^4α
=A(A^3α)
=A(5Aα-3A^2α)
=5A^2α-3A^3α
=5A^2α-3(5Aα-3A^2α)
=5A^2α-15Aα+9A^2α
=14A^2α-15Aα
因为α,Aα,A²α线性无关
所以(α,Aα,A^4α)=(α,Aα,14A^2α-15Aα)线性无关
所以(α,Aα,A^4α)可逆