一道多元复合函数求导问题………………在方程如下图,其中函数u具有二阶连续偏导数,令{ζ=x-y,η=x+y},求u以ζ,η为自变量的新方程.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/26 15:32:48
一道多元复合函数求导问题………………在方程如下图,其中函数u具有二阶连续偏导数,令{ζ=x-y,η=x+y},求u以ζ,η为自变量的新方程.
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一道多元复合函数求导问题………………在方程如下图,其中函数u具有二阶连续偏导数,令{ζ=x-y,η=x+y},求u以ζ,η为自变量的新方程.
一道多元复合函数求导问题………………
在方程如下图,其中函数u具有二阶连续偏导数,令{ζ=x-y,η=x+y},求u以ζ,η为自变量的新方程.

一道多元复合函数求导问题………………在方程如下图,其中函数u具有二阶连续偏导数,令{ζ=x-y,η=x+y},求u以ζ,η为自变量的新方程.
链式法则,毫无技术含量的纯体力活展开就好了,这应该是某个偏微分方程课里的小题吧?
偏u/偏x = 偏u/偏ζ 偏ζ/偏x + 偏u/偏η 偏η/偏x
注意 偏ζ/偏x = 1 偏η/偏x = 1
所以 偏u/偏x = 偏u/偏ζ+偏u/偏η
偏2u/偏x2= 偏(偏u/偏ζ + 偏u/偏η)/偏x=偏(偏u/偏ζ )/偏x + 偏(偏u/偏η)/偏x
注意把 偏u/偏ζ 看成一个整体,再用一次
偏(偏u/偏ζ )/偏x = 偏(偏u/偏ζ )/偏ζ 偏ζ/偏x + 偏(偏u/偏ζ )/偏η 偏η/偏x
=偏(偏u/偏ζ )/偏ζ+ 偏(偏u/偏ζ )/偏η = 偏2u/偏ζ2+偏2u/偏ζ偏η
同样的
偏(偏u/偏η)/偏x= 偏(偏u/偏η )/偏ζ 偏ζ/偏x + 偏(偏u/偏η )/偏η 偏η/偏x
=偏2u/偏ζ偏η + 偏2u/偏η2
带回去,得到
偏2u/偏x2 = 偏2u/偏ζ2+偏2u/偏ζ偏η + 偏2u/偏ζ偏η + 偏2u/偏η2
= 偏2u/偏ζ2+2偏2u/偏ζ偏η+偏2u/偏η2
类似的
偏u/偏y = 偏u/偏ζ 偏ζ/偏y + 偏u/偏η 偏η/偏y
注意 偏ζ/偏y = -1 偏η/偏y = 1
所以 偏u/偏y = -偏u/偏ζ+偏u/偏η
偏2u/偏y2= 偏(-偏u/偏ζ + 偏u/偏η)/偏y=-偏(偏u/偏ζ )/偏y + 偏(偏u/偏η)/偏y
偏(偏u/偏ζ )/偏y = 偏(偏u/偏ζ )/偏ζ 偏ζ/偏y + 偏(偏u/偏ζ )/偏η 偏η/偏y
=-偏(偏u/偏ζ )/偏ζ+ 偏(偏u/偏ζ )/偏η =-偏2u/偏ζ2+偏2u/偏ζ偏η
同样的
偏(偏u/偏η)/偏y= 偏(偏u/偏η )/偏ζ 偏ζ/偏y + 偏(偏u/偏η )/偏η 偏η/偏y
=-偏2u/偏ζ偏η + 偏2u/偏η2
带回去,得到
偏2u/偏y2 = -(-偏2u/偏ζ2+偏2u/偏ζ偏η) + (-偏2u/偏ζ偏η + 偏2u/偏η2)
= 偏2u/偏ζ2-2偏2u/偏ζ偏η+偏2u/偏η2
所以 偏2u/偏x2 - 偏2u/偏y2 = 4偏2u/偏ζ偏η
所以 偏2u/偏x2 - 偏2u/偏y2 =0 等价于 偏2u/偏ζ偏η = 0
没有任何技巧,有耐心一步一步展开就好了

高等数学多元复合函数求导一道题目的疑问如图…… 多元复合函数求导问题. 多元复合函数求导问题 一道多元复合函数求导问题………………在方程如下图,其中函数u具有二阶连续偏导数,令{ζ=x-y,η=x+y},求u以ζ,η为自变量的新方程. 关于多元复合函数的求导问题, 复合函数求导…请出一题用此解答的例题… 高数题,多元复合函数求导. 多元复合函数求导法则 多元复合函数求导法则 问一个关于多元复合函数的求导问题 第八章 第四节 多元复合函数求导法则 一道例题 大一 一道复合函数求导的问题 谢谢 ～ 多元函数可微的问题在一道题中求z=xe^(2y)的某一方向导数…后面的解答直接说“因为函数可微分”.请问如何不用证明就知道这个函数可微呢 复合函数求导的问题, 多元复合函数求导,中间画线的看不懂, 有关微积分多元复合函数的问题 多元复合函数的求导法则,高等数学下中的一道例题我想问下这道题为什么这样解答. 关于多元函数求导的问题!