已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(u)表示(1)证明:对于任意向量a、向量b及常数m、n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立;(2)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标;(3)求使得f
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/18 09:58:46
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已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(u)表示(1)证明:对于任意向量a、向量b及常数m、n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立;(2)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标;(3)求使得f
已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(u)表示
(1)证明:对于任意向量a、向量b及常数m、n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立;
(2)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标;
(3)求使得f(c)=(3,5)的向量c坐标.
(注:a、b、c都为向量)
已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(u)表示(1)证明:对于任意向量a、向量b及常数m、n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立;(2)设a=(1,1),b=(1,0),求向量f(a)及f(b)的坐标;(3)求使得f
(1) 设向量a=(x1,y1),向量b=(x2,y2) 则ma+nb=(mx1+nx2,my1+ny2)
又因为f(u)=v 此时的向量u=ma+nb=(mx1+nx2,my1+ny2) 所以v=(my1+ny2,2my1+2ny2-mx1-nx2)
f(a)=(y1,2y1-x1) 所以mf(a)=(my1,2my1-mx1)
f(b)=(y2,2y2-x2) 所以nf(b)=(ny2,2ny2-nx2)
mf(a)+nf(b)=(my1+ny2,2my1-mx1+2ny2-nx2)=f(ma+nb)
所以f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)
(2) 套公式 向量u=a =(1,1) 所以v=(1,2*1-1)=(1,1)
f(b)=(0,2*0-1)=(0,-1)
(3)设c=(x,y) 得方程组{y=3
{2y-x=5 x=1 y=3
所以c=(1,3)
分析:(I)由已知中向量u=(x,y)与v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(
u)表示,我们根据a=(1,1),
b=(1,0),易得向量f(
a)及f(
b)的坐标;
(II)设c=(x,y),根据f(
c)=(p,q),我们可以构造关于x,y的方程,解方程即可求出向量c的坐标;
(Ⅲ)设a=(a1,a2),
b=(b1,b2)...
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分析:(I)由已知中向量u=(x,y)与v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(
u)表示,我们根据a=(1,1),
b=(1,0),易得向量f(
a)及f(
b)的坐标;
(II)设c=(x,y),根据f(
c)=(p,q),我们可以构造关于x,y的方程,解方程即可求出向量c的坐标;
(Ⅲ)设a=(a1,a2),
b=(b1,b2),分别求出f(m
a+n
b)和mf(
a)+nf(
b)的坐标,比照后即可得到结论.
(I)由已知得f(a)=(1,1),f(b)=(0,-1)
(II)设c=(x,y),则f(c)=(y,2y-x)=(p,q),
∴y=p,x=2p-q,即c=(2P-q,p).
(III)设a=(a1,a2),b=(b1,b2),则ma+nb=(ma1+nb1,ma2+nb2),
故 f(ma+nb)=(ma2+nb2,2ma2+2nb2-ma1-nb1)=m(a2,2a2-a1)+n(b2,2b2-b1),
∴f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)
点评:本题考查的知识点是平面向量的坐标运算,其中正确理解新定义向量u=(x,y)与v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(u)表示是解答本题的关键.
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