已知函数f(x)=lnx - ax+x分之(1-a) 再减1,(a属于R),当a小于等于2分之1时,讨论f(x)的单调性

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/24 01:46:52
已知函数f(x)=lnx - ax+x分之(1-a) 再减1,(a属于R),当a小于等于2分之1时,讨论f(x)的单调性
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已知函数f(x)=lnx - ax+x分之(1-a) 再减1,(a属于R),当a小于等于2分之1时,讨论f(x)的单调性
已知函数f(x)=lnx - ax+x分之(1-a) 再减1,(a属于R),当a小于等于2分之1时,讨论f(x)的单调性

已知函数f(x)=lnx - ax+x分之(1-a) 再减1,(a属于R),当a小于等于2分之1时,讨论f(x)的单调性
首先,定义域为x>0
对f(x)求导得
f’(x)=(1/x) - a-[(1-a)/x²]=(-ax²+x+a-1)/x²
1、当a=0时,f’(x)=(x-1)/x²,令f’(x)≥0以求f(x)的增区间得x≥1;令f’(x)≤0以求f(x)的减区间得02、当a≠0时,f’(x)=(-ax²+x+a-1)/x²=(-a)(x-1)[x-(1-a)/a]/x²
令f’(x)=0,可求得x=1或x=(1-a)/a
因为a≤1/2,所以1≤(1-a)/a,下面分两类讨论:
⑴当1=(1-a)/a即a=1/2时,f’(x)=(-1/2)(x-1)²/x²≤0,原函数f(x)在定义域上单调递减.
⑵当1<(1-a)/a即a<1/2时,再分两种情况讨论:
①当a<0时,令f’(x)≥0以求f(x)的增区间得0②当0综上所述:
当a<0时,f(x)的增区间为0当a=0时,f(x)的增区间为x≥1,减区间为0当0当a=1/2时,f(x)在定义域x>0上单调递减.