证明1+1/根2+...+1/根号n
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/27 04:34:37
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证明1+1/根2+...+1/根号n
证明1+1/根2+...+1/根号n
证明1+1/根2+...+1/根号n
可以知道:
1/√n=2/(2*√n)<2/(√n+√(n+1))=2(√n-√(n-1))
所以:
1+1/√2+1/√3+……+1/√n
≤1+2(√2-√1)+2(√3-√2)+……+2(√n-√(n-1))=2√n -1<2√n
注:上面得那个式子当且仅当n=1时取等号!
应该是小于等于吧
可以用数学归纳法,当n=1的时候,取等号。
等n=k时,得出一个式子,然后推出n=k+1时也成立,就能证明这个命题了
用数学归纳法证:
证明:当n=1时,1<2,原不等式成立;
假设当n=k时,1+1/根2+...+1/根号K<2根号K
则当n=K+1时,
1+1/根2+...+1/根号K+1/根号(K+1)<2根号K + 1/根号(K+1)
后面只要说明
要证: 2根号K + 1/根号(K+1)<2 根号(K+1...
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用数学归纳法证:
证明:当n=1时,1<2,原不等式成立;
假设当n=k时,1+1/根2+...+1/根号K<2根号K
则当n=K+1时,
1+1/根2+...+1/根号K+1/根号(K+1)<2根号K + 1/根号(K+1)
后面只要说明
要证: 2根号K + 1/根号(K+1)<2 根号(K+1)
两边同乘以根号(K+1),得
就是要证: 2根号[K(K+1)]+1<2(K+1)
也就是要证: (K+1)-2根号[K(K+1)] + K > 0
而(K+1)-2根号[K(K+1)] + K=[根号(K+1)-根号K]^2>0 成立
所以 1+1/根2+...+1/根号n<2根号n 成立
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证明:构造函数y=1/√x。画出y=1/√x的图像。
如果当x=1,2,3,……,n-1,n时,各项相加得1/√1+1/√2+1/√3+……+1/√n
而1/√1+1/√2+1/√3+……+1/√n可以看作函数在[0,1],[1,2],[2,3]……,[n-1,n]上的各个小矩形面积之和
显然,函数在区间[1,n]上的定积分再加上1显然比1/√1+1/√2+1/√3+……+...
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证明:构造函数y=1/√x。画出y=1/√x的图像。
如果当x=1,2,3,……,n-1,n时,各项相加得1/√1+1/√2+1/√3+……+1/√n
而1/√1+1/√2+1/√3+……+1/√n可以看作函数在[0,1],[1,2],[2,3]……,[n-1,n]上的各个小矩形面积之和
显然,函数在区间[1,n]上的定积分再加上1显然比1/√1+1/√2+1/√3+……+1/√n要大,就此利用放大法。
∫1/√x=2√x(求不定积分),所以y=1/√x在[1,n]上的定积分为2√n-2,再加上1就等于2√n-1<=2√n
而1/√1+1/√2+1/√3+……+1/√n<=2√n-1
所以1/√1+1/√2+1/√3+……+1/√n<=2√n
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