在斜边为AB的直角三角形中,过A作PA垂直面ABC,AM垂直PB于M,AN垂直PC于N,求证PB垂直面AMN
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/11 06:48:09
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在斜边为AB的直角三角形中,过A作PA垂直面ABC,AM垂直PB于M,AN垂直PC于N,求证PB垂直面AMN
在斜边为AB的直角三角形中,过A作PA垂直面ABC,AM垂直PB于M,AN垂直PC于N,求证PB垂直面AMN
在斜边为AB的直角三角形中,过A作PA垂直面ABC,AM垂直PB于M,AN垂直PC于N,求证PB垂直面AMN
此题关键在于证明MN垂直于PB,但是我证不出来.抱歉.
因为 容易证BC垂直面PAC,PA属于平面PBC,所以 面PAC垂直于面PBC,所以AM垂直PB. 又因为AM垂直PB,AM交AN于A,所以PB垂直面AMN
证明:∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC.
∴PA⊥BC,又AB为斜边,∴BC⊥AC,PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.(4分)
(Ⅱ)证明:∵BC⊥平面PAC,AN⊂平面PAC,∴BC⊥AN,又AN⊥PC,且BC∩PC=C,
∴AN⊥面PBC,又PB⊂平面PBC.∴AN⊥PB.
又∵PB⊥AM,AM∩AN=A,∴PB⊥平面A...
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证明:∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC.
∴PA⊥BC,又AB为斜边,∴BC⊥AC,PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.(4分)
(Ⅱ)证明:∵BC⊥平面PAC,AN⊂平面PAC,∴BC⊥AN,又AN⊥PC,且BC∩PC=C,
∴AN⊥面PBC,又PB⊂平面PBC.∴AN⊥PB.
又∵PB⊥AM,AM∩AN=A,∴PB⊥平面AMN
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因为PA垂直平面ABC,(由垂直于一个平面的直线垂直于平面中的所有直线可知)
PA垂直BC,又BC垂直AC,(又一条直线垂直于一个平面中的两条直线则这条直线垂直这个平面)
所以BC垂直平面PAC.
所以BC垂直AN,
又AN垂直PC,
所以AN垂直平面PBC,
所以AN垂直PB,
又PB垂直AM,
所以PB垂直平面AMN 。...
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因为PA垂直平面ABC,(由垂直于一个平面的直线垂直于平面中的所有直线可知)
PA垂直BC,又BC垂直AC,(又一条直线垂直于一个平面中的两条直线则这条直线垂直这个平面)
所以BC垂直平面PAC.
所以BC垂直AN,
又AN垂直PC,
所以AN垂直平面PBC,
所以AN垂直PB,
又PB垂直AM,
所以PB垂直平面AMN 。
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