设A为n（n＞2）阶方阵,证明A可逆的充分必要条件是A*可逆

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/10/04 14:35:49

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设A为n（n＞2）阶方阵,证明A可逆的充分必要条件是A*可逆
设A为n（n＞2）阶方阵,证明A可逆的充分必要条件是A*可逆

设A为n（n＞2）阶方阵,证明A可逆的充分必要条件是A*可逆
AA* = |A|·E.
若A可逆,有|A| ≠ 0,A* = |A|·A^(-1)也是可逆的.
若A不可逆,有|A| = 0,故AA* = 0.
r(A)+r(A*)-n ≤ r(AA*) = 0,即r(A*) ≤ n-r(A).
当A ≠ 0,r(A) > 0,得r(A*) < n,A*不可逆.
而当A = 0,由伴随矩阵的构造易得A* = 0,A*同样不可逆.
实际上可以证明:对n > 1,
r(A) = n时,r(A*) = n.
r(A) = n-1时,r(A*) = 1.
r(A) < n-1时,r(A*) = 0.

设A为n（n＞2）阶方阵,证明A可逆的充分必要条件是A*可逆设A为n阶可逆方阵,证明|A*|=|A|^（n-1）设A为n阶可逆方阵,证明|A*|=|A|^（n-1）设n阶方阵A可逆,A^*为A的伴随矩阵,证明|A^*|=|A|^n-1 设n阶方阵A,B的乘积AB为可逆矩阵,证明A,B都是可逆矩阵已知A,B均为n阶矩阵,设A为阶数大于2的可逆方阵,则（A*）^-1=（A^-1)*,怎么证明设A为n阶方阵,且A是可逆的,证明det(adjA)=(detA)的(n-1)次方设A是n阶方阵,且A的平方等于A,证明A+E可逆设A,B为N阶方阵,若A可逆,证明AB与BA相似设A是n阶方阵,且(A+E)的平方=O,证明A可逆设A和B为n阶方阵,A^2B+AB^2=E 证明A+B可逆设a,b均为n阶幂等方阵,且方阵e-a-b可逆,证明ra=rb 设A为n阶方阵,且满足(A-E)^2=2(A+E)^2,证明A是可逆的,并求A^-1 设A是n阶方阵,且（A+E）的平方＝0,证明A可逆? 设A,B都是n阶可逆方阵,C是n阶方阵,证明2n阶方阵D=(C A B ）2*2 可逆,并求D-1是(C A B 0 ）2*2 线性代数,设A是n阶方阵,且（A+E）^2=0,证明A可逆. 设A,B均为n阶可逆方阵,怎么证明AB的行列式与BA的行列式相等? 设A,B为n阶单位方阵,I为n阶单位方阵,B及I+AB可逆,证明I+BA也可逆