作业帮若AB=BA,AC=CA,证明：A,B,C是同阶矩阵,A（B+C)=(B+C）A,A(BC)=(BC)A
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/24 21:44:04
若AB=BA,AC=CA,证明：A,B,C是同阶矩阵,A（B+C)=(B+C）A,A(BC)=(BC)A
若AB=BA,AC=CA,证明：A,B,C是同阶矩阵,A（B+C)=(B+C）A,A(BC)=(BC)A
若AB=BA,AC=CA,证明：A,B,C是同阶矩阵,A（B+C)=(B+C）A,A(BC)=(BC)A
∵a(a+b+c) ≤(1/2)[a2+(a+b+c)2]
bc≤(1/2)(b2+c2)
∴a(a+b+c)+bc≤(1/2)[ a2+(a+b+c)2+ b2+c2]
∵(1/2)[ a2+(a+b+c)2+ b2+c2]= a2+ b2+c2+ab+bc+ac
= (2a+b+c)2-3(a2+ab+bc+ac)
∴a(a+b+c)+bc≤(2a+b+c)2-3(a2+ab+bc+ac)
∴4[ a(a+b+c)+bc]=4(4-2根号3)=4（根号3 -1）2≤(2a+b+c)2
∴2（√3 -1）≤2a+b+c
即2a+b+c的最小值是 2√3-2
假设A的行数为m_A,列数为n_A，B的行数为m_B,列数为n_B，C的行数
为m_C,列数为n_C；
如果AB、BA成立；
则m_A=n_B，m_B=n_A\x09(1)
如果AB=BA；
则m_A=m_B；n_A=n_B\x09(2)
由(1)与(2)可得
m_A=m_B=n_A=n_B\x09\x09(3)
同上，由AC=CA可...
全部展开
假设A的行数为m_A,列数为n_A，B的行数为m_B,列数为n_B，C的行数
为m_C,列数为n_C；
如果AB、BA成立；
则m_A=n_B，m_B=n_A\x09(1)
如果AB=BA；
则m_A=m_B；n_A=n_B\x09(2)
由(1)与(2)可得
m_A=m_B=n_A=n_B\x09\x09(3)
同上，由AC=CA可得
m_A=m_C=n_A=n_C\x09\x09(4)
由(3)和(4)
m_A=m_B=n_A=n_B=n_C=m_C;
因此A,B,C是同阶矩阵
A（B+C)=(B+C）A改写为
AB+AC=BA+CA，方程右边代入AB=BA,AC=CA可得
BA+CA=方程右边
A(BC)=(BC)A
左边A(BC)->ABC
代入AB=BA，得到BAC
代入AC=CA，得到BCA->(BC)A
收起
证明: 因为 AB=BA,AC=CA, 且乘法满足结合律, 所以有
A(BC)=(AB)C=(BA)C=B(AC)=B(CA)=(BC)A.
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