高数利用中值定理证明不等式1-1/x<lnx<x-1 (1<x)请问怎么解.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/02 12:02:14
高数利用中值定理证明不等式1-1/x<lnx<x-1       (1<x)请问怎么解.
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高数利用中值定理证明不等式1-1/x<lnx<x-1 (1<x)请问怎么解.
高数利用中值定理证明不等式
1-1/x<lnx<x-1 (1<x)
请问怎么解.

高数利用中值定理证明不等式1-1/x<lnx<x-1 (1<x)请问怎么解.
证明:
令f(x)=lnx(x>1)
lnx=lnx-ln1=f'(1+θx)(x-1)=(x-1)/(1+θx),θ∈(0,1) ...拉格朗日中值定理
∴1+θx∈(1,1+x)
∴1-1/x

由柯西中值定理得(lnx-ln1)/(x-1)=1/ξ,其中1<ξ