求解微分方程:y''+y=1 的特解 y(0)=y'(0)=0 另附上此类方程的通解公式
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/08 04:31:15
![求解微分方程:y''+y=1 的特解 y(0)=y'(0)=0 另附上此类方程的通解公式](/uploads/image/z/12876926-14-6.jpg?t=%E6%B1%82%E8%A7%A3%E5%BE%AE%E5%88%86%E6%96%B9%E7%A8%8B%EF%BC%9Ay%27%27%2By%3D1+%E7%9A%84%E7%89%B9%E8%A7%A3+y%280%29%3Dy%27%280%29%3D0+%E5%8F%A6%E9%99%84%E4%B8%8A%E6%AD%A4%E7%B1%BB%E6%96%B9%E7%A8%8B%E7%9A%84%E9%80%9A%E8%A7%A3%E5%85%AC%E5%BC%8F)
求解微分方程:y''+y=1 的特解 y(0)=y'(0)=0 另附上此类方程的通解公式
求解微分方程:y''+y=1 的特解 y(0)=y'(0)=0 另附上此类方程的通解公式
求解微分方程:y''+y=1 的特解 y(0)=y'(0)=0 另附上此类方程的通解公式
特征方程 x^2+1=0解得 x=i 和x=-i
通解 c1*e^ix+c2e^(-ix)+c=c1sinx+c2cosx+c
代入y"+y+1得到 c=1
y(0)=c1*sin(0)+c2*cos(0)+1=c2+1=0
c2=-1
y'(0)=c1*cos(0)-c2*sin(0)=c1=0
c1=0
解y=1-cosx
二次非齐次微分方程的一般解法
一般式是这样的ay''+by'+cy=f(x)
第一步:求特征根:
令ar²+br+c=0,解得r1和r2两个值,(这里可以是复数,例如(βi)²=-β²)
第二步:
若r1≠r2,则y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)
若r1=r2,则y=(C1+C2x)*e^(r1*x)
若r1,2=α±βi,则y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)
第三步:
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型,(注:P(x)是关于x的多项式,且λ经常为0)
则y*=x^k*Q(x)*e^(λx) (注:Q(x)是和P(x)同样形式的多项式,例如P(x)是x²+2x,则设Q(x)为ax²+bx+c,abc都是待定系数)
若λ不是特征根 k=0 y*=Q(x)*e^(λx)
若λ是单根 k=1 y*=x*Q(x)*e^(λx)
若λ是二重根 k=2 y*=x²*Q(x)*e^(λx)(注:二重根就是上面解出r1=r2=λ)
f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx
若α+βi不是特征根,y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)
若α+βi是特征根,y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)(注:AB都是待定系数)
第四步:解特解系数
把特解的y*'',y*',y*都解出来带回原方程,对照系数解出待定系数.
最后结果就是y=通解+特解
通解的系数C1,C2是任意常数