求证:若S的任一无穷子集在S中都有聚点,则S是有界闭集.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/15 04:41:45
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求证:若S的任一无穷子集在S中都有聚点,则S是有界闭集.
求证:若S的任一无穷子集在S中都有聚点,则S是有界闭集.
求证:若S的任一无穷子集在S中都有聚点,则S是有界闭集.
先证明有界性.
反证法.若S无界,则存在点列{xn}包含于S,但|xn|>n,于是
lim xn=无穷,{xn}在S中无聚点.矛盾.于是S有界.
再证明S是闭集.只需证明S的任一聚点位于S中.
令a是S的聚点,由聚点的性质,存在S中的互异点列{xn},使得
lim xn=a,由条件{xn}有一收敛子列收敛于S中的点,但先在
{xn}收敛于a,因此a属于S.证毕.
其实,如果知道性质:S是闭集的充要条件是
S对极限运算封闭,那第二个证明就很简单了.
设任一收敛点列{xn}有lim xn=a,其中xn都属于S.
由条件a属于S,因此S对极限运算封闭,故S是闭集.
证明:
如果S是无界的,则对于每一个m>0都存在S中的一个点Xm使||Xm||>m。集T={X1 X2 X3....}是一个无限子集,由于S的每一个无限子集都有聚点在S内。设聚点Y在S内。但是对于m>1+||Y||就有
||Xm-Y||=>||Xm||-||Y||>m-||Y||>1
这与Y是T的一个据点的事实相矛盾,这就证明了S是有界的。...
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证明:
如果S是无界的,则对于每一个m>0都存在S中的一个点Xm使||Xm||>m。集T={X1 X2 X3....}是一个无限子集,由于S的每一个无限子集都有聚点在S内。设聚点Y在S内。但是对于m>1+||Y||就有
||Xm-Y||=>||Xm||-||Y||>m-||Y||>1
这与Y是T的一个据点的事实相矛盾,这就证明了S是有界的。
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