函数题,有一点难度...已知定义在(0,﹢∞)上的函数f(x)为单调函数,且f(x)*f[f(x)+1/x]=1,则f(1)=
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/06 14:20:47
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函数题,有一点难度...已知定义在(0,﹢∞)上的函数f(x)为单调函数,且f(x)*f[f(x)+1/x]=1,则f(1)=
函数题,有一点难度...
已知定义在(0,﹢∞)上的函数f(x)为单调函数,且f(x)*f[f(x)+1/x]=1,则f(1)=
函数题,有一点难度...已知定义在(0,﹢∞)上的函数f(x)为单调函数,且f(x)*f[f(x)+1/x]=1,则f(1)=
设f(1)=a
令x=1时 f(1)f[f(1)+1]=1 即f(a+1)=1/a
令x=a+1时 f(a+1)f[f(a+1) +1/(a+1)]=1 即f[f(a+1) +1/(a+1)]=a=f(1)
又因为 f(x)在定义域单调
所以 f(a+1) +1/(a+1)=1
1/a +1/(a+1)=1
a=(1+根号5)/2 或 a=(1-根号5)/2
这一过程两个a都成立
f(x)*f[f(x)+1/x]=1,当x=1时,f(1)*f[f(1)+1]=1 (1)
当x=f(1)+1时,f[f(1)+1]*f[ f[f(1)+1] +1/[f(1)+1] ]=1
所以 f(1) = f[ f[f(1)+1] + 1/[f(1)+1] ]<...
全部展开
f(x)*f[f(x)+1/x]=1,当x=1时,f(1)*f[f(1)+1]=1 (1)
当x=f(1)+1时,f[f(1)+1]*f[ f[f(1)+1] +1/[f(1)+1] ]=1
所以 f(1) = f[ f[f(1)+1] + 1/[f(1)+1] ]
因为函数f(x)为定义在(0,﹢∞)上的单调函数,所以一个函数值对应唯一一个自变量值。
所以 1 = f[f(1)+1] + 1/[f(1)+1]
所以f[f(1)+1]= 1-1/[f(1)+1] (2)
把(2) 结果代入(1)式中,
1
f(1) * ( 1 - ———— )=1
f(1)+1
整理得,f(1) * f(1) =f(1)+1
f(1) * f(1) - f(1) - 1=0
解得 f(1)有两值, 1+根号5 1-根号5
f(1)=———— 或 f(1)=———— 关于取舍问题还要再讨论一下。
2 2
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