设A,B均为n阶矩阵,且（AB）^2 =E,则下列命题中可能错误的是（）A、（BA）^2 =EB、(A)-1=BC、r(A)=r(B)D、(A)-1=BAB主要要求讲解A、C的原因

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 01:00:00
设A,B均为n阶矩阵,且（AB）^2 =E,则下列命题中可能错误的是（）A、（BA）^2 =EB、(A)-1=BC、r(A)=r(B)D、(A)-1=BAB主要要求讲解A、C的原因
xS]OA+Slej zz:>WV[ ͳVD Qq5}XL ]z&%&eښpř)6mRZn_ueW(?W3{׹@4nA)h\?)f/҈)N`6ۂ_qVbG3#{߾N++aa XFe($ ^F7% <0>3}&4rM~ !k1T2L#ȳ.#ll3vpb

设A,B均为n阶矩阵,且（AB）^2 =E,则下列命题中可能错误的是（）A、（BA）^2 =EB、(A)-1=BC、r(A)=r(B)D、(A)-1=BAB主要要求讲解A、C的原因
设A,B均为n阶矩阵,且（AB）^2 =E,则下列命题中可能错误的是（）
A、（BA）^2 =E
B、(A)-1=B
C、r(A)=r(B)
D、(A)-1=BAB
主要要求讲解A、C的原因

设A,B均为n阶矩阵,且（AB）^2 =E,则下列命题中可能错误的是（）A、（BA）^2 =EB、(A)-1=BC、r(A)=r(B)D、(A)-1=BAB主要要求讲解A、C的原因
对于A：因为(AB)^2=E,即 ABAB=E,右乘B逆得 ABA=B逆,再左乘A逆得
BA=A逆*B逆=(BA)逆,所以(BA)^2=E
对于B:取A=E,矩阵B是二阶阵满足 B11=根号2/2,B12=B21=B22=-根号2/2,容易验证 (AB)^2=E,但显然A逆不等于B.
对于C：因为ABAB=E,所以A,B必须都是满秩矩阵,即rank(A)=rank(B)=n,所以
r(A)=r(B).
对于D:左乘A逆即可.
所以,只有B可能错误.
答案错了吧.上面那个B的反例是对的吧?所以B可能错误.C的解释也没有问题,A或B不满秩时乘积是不可能满秩的.或者也可以这样想：A,B都可逆了,它们不是必须得满秩么?

很明显是B啦，楼上都举出反例了啊。
不过个人认为楼上的解答逻辑稍有不妥。应该先说明：
（AB）的特征值只能是1或-1，所以AB满秩。
r(AB)<=min{r(A),r(B)}
所以A和B各自满秩，即各自可逆。
然后再解题。
如果一上来就说左乘A的逆，右乘B的逆。貌似不妥。...

全部展开

很明显是B啦，楼上都举出反例了啊。
不过个人认为楼上的解答逻辑稍有不妥。应该先说明：
（AB）的特征值只能是1或-1，所以AB满秩。
r(AB)<=min{r(A),r(B)}
所以A和B各自满秩，即各自可逆。
然后再解题。
如果一上来就说左乘A的逆，右乘B的逆。貌似不妥。

收起

设A,B均为n阶矩阵,且AB=BA求证r(A+B) 设A,B均为n阶矩阵,且AB=BA,证r(A+B) 设AB均为n阶矩阵A^2=A,B^2=B,且（A+B）^2=A+B,求证AB=0; 设A为m阶正定矩阵,B是m*n实矩阵,且R（B）=n,证明B'AB也是正定矩阵 设A,B均为n阶矩阵,且AB=A+B,证明A,B可交换 设A,B均为n阶矩阵.证明:分块矩阵AB BA是可逆矩阵当且仅当A+B A-B均为可逆矩阵 设A为m*n矩阵,B为n阶矩阵,且R(A)=n,证明：（1）若AB=O,则B=O;(2)若AB=A,则B=E 设A为m*n矩阵,B为n阶矩阵,且r(A)=n.求证：（1）如果AB=O,则B=O;(2)如果AB=A,则B=I. 设a.b均为n阶（n≥2）可逆矩阵,证明（AB）*=A*B* 设A和B为n阶矩阵,且A为对称矩阵,证明B'AB为对称矩阵 设A、B均为n阶正交矩阵,且|AB|=-1,则|A^(-1)B^T|=? 设A为N阶对称矩阵,B为N阶可逆矩阵,且B-1=BT,证明B-1AB是对称矩阵 设A,B均为n阶矩阵,且AB=BA,证明： 1）如果A有n个不同的特征值,则B相似于对角矩阵；2）如果A,B都相似与对角矩阵,则存在非奇异矩阵P,使得P-1AP与P-1BP均为对角矩阵. 设A,B为n阶矩阵,n大于等于2 且AB=0 为什么在A为可逆矩阵即r（A）=n的时候 B=0 设A B 均为n阶矩阵,且AB=O(零矩阵),则|A|和|B|都等于零.为什么啊 怎么推出来的 设A为r*r阶矩阵,B为r*n阶矩阵且R(B)=r,证明：（1）如果AB=0,则A=0（2）如果AB=B,则A=E 设A B为n阶矩阵,且A B AB-I可逆,证明：A-（B的逆）可逆 设A,B为n阶矩阵,且满足A^2=A,B^2=B,(A+B)^2=(A+B),证明：AB=0.