作业帮求证2007^2007+2009^2009能被4016整除如题,最好能用初一以前的知识来回答,谢谢啦~~急
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/08/16 12:55:12
求证2007^2007+2009^2009能被4016整除如题,最好能用初一以前的知识来回答,谢谢啦~~急
求证2007^2007+2009^2009能被4016整除
如题,最好能用初一以前的知识来回答,谢谢啦~~急
求证2007^2007+2009^2009能被4016整除如题,最好能用初一以前的知识来回答,谢谢啦~~急
以上说法是错误的：一个数是2的倍数,也是2008的倍数,故而是4016的倍数.
反例：2008是2的倍数,也是2008的倍数,但不是4016的倍数.
一个数是16的倍数,也是2008的倍数,故而是4016的倍数
原理：
一个数被a整除,也被b整除,则被a,b的最小公倍数整除.而4016是16和2008的最小公倍数.
先证它被2008整除：
2007^2007+2009^2009
=(2008-1)^2007+(2008+1)^2009
易见它对2008的余数为(-1)^2007+(1)^2009=0,即被2008整除.
再看它对16的余数,和以下数对16的余数相等：
7^2007+(-7)^2009=7^2007(1-49)＝7^2007*(-48),显然余数为0.
2007^2007+2009^2009
=(2008-1)^2007+(2008+1)^2007
=2*[2008^2007+C(2,2007）*2008^2005+c(2,2007)*2008^2003+...+c(2006,2007)*2008]
它既是2的倍数，也是2008的倍数，故而是4016的倍数。
是因为：2007^2007+2009^2009
=(2008-1)^2007+(2008+1)^2007
=2*[2008^2007+C(2,2007）*2008^2005+c(2,2007)*2008^2003+...+c(2006,2007)*2008]
它既是2的倍数，也是2008的倍数，故而是4016的倍数。
其中c(2,2007)是组合数，表示从二...
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是因为：2007^2007+2009^2009
=(2008-1)^2007+(2008+1)^2007
=2*[2008^2007+C(2,2007）*2008^2005+c(2,2007)*2008^2003+...+c(2006,2007)*2008]
它既是2的倍数，也是2008的倍数，故而是4016的倍数。
其中c(2,2007)是组合数，表示从二○○七个物件中选取2个的取法数。本题用到二项式定理
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