作业帮已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)且满足f(-1)=0,对任意实数x,恒有f(x)-x≥0,并且当x∈(1,2)时f（x)≤((x+1)/2)平方(1)求f(1)的值（2）证明a>0 c>0 （3）且当x∈[-1,1]时,函数g(x)=f(x)-mx(x∈R)是单调函数,求证m≤0
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/24 16:40:20
![已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)且满足f(-1)=0,对任意实数x,恒有f(x)-x≥0,并且当x∈(1,2)时f（x)≤((x+1)/2)平方(1)求f(1)的值（2）证明a>0 c>0 （3）且当x∈[-1,1]时,函数g(x)=f(x)-mx(x∈R)是单调函数,求证m≤0](/uploads/image/z/2084565-21-5.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Dax2%2Bbx%2Bc%28a%E2%89%A00%29%E4%B8%94%E6%BB%A1%E8%B6%B3f%28-1%29%3D0%2C%E5%AF%B9%E4%BB%BB%E6%84%8F%E5%AE%9E%E6%95%B0x%2C%E6%81%92%E6%9C%89f%28x%29-x%E2%89%A50%2C%E5%B9%B6%E4%B8%94%E5%BD%93x%E2%88%88%281%2C2%29%E6%97%B6f%EF%BC%88x%29%E2%89%A4%28%28x%2B1%29%2F2%29%E5%B9%B3%E6%96%B9%281%29%E6%B1%82f%281%29%E7%9A%84%E5%80%BC%EF%BC%882%EF%BC%89%E8%AF%81%E6%98%8Ea%3E0+c%3E0+%EF%BC%883%EF%BC%89%E4%B8%94%E5%BD%93x%E2%88%88%5B-1%2C1%5D%E6%97%B6%2C%E5%87%BD%E6%95%B0g%28x%29%3Df%28x%29-mx%28x%E2%88%88R%29%E6%98%AF%E5%8D%95%E8%B0%83%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E6%B1%82%E8%AF%81m%E2%89%A40)
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)且满足f(-1)=0,对任意实数x,恒有f(x)-x≥0,并且当x∈(1,2)时f（x)≤((x+1)/2)平方(1)求f(1)的值（2）证明a>0 c>0 （3）且当x∈[-1,1]时,函数g(x)=f(x)-mx(x∈R)是单调函数,求证m≤0
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)且满足f(-1)=0,对任意实数x,恒有f(x)-x≥0,并且当x∈(1,2)时
f（x)≤((x+1)/2)平方(1)求f(1)的值（2）证明a>0 c>0 （3）且当x∈[-1,1]时,函数g(x)=f(x)-mx(x∈R)是单调函数,求证m≤0或m≥1
连起来
每个知识点最好都有
已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)且满足f(-1)=0,对任意实数x,恒有f(x)-x≥0,并且当x∈(1,2)时f（x)≤((x+1)/2)平方(1)求f(1)的值（2）证明a>0 c>0 （3）且当x∈[-1,1]时,函数g(x)=f(x)-mx(x∈R)是单调函数,求证m≤0
（1）答案为1(下面是解答,a2表示a的平方）
f(-1)=a-b+c=0得a+c=b两边平方得a2+2ac+c2=b2两边同时减4ac得b2-4ac=a2-2ac+c2(a-c)2≥0；
f(x)-x=ax^2+(b-1)x+c≥0,函数恒大于0由可得(b-1)2-4ac≤0拆开得2b-1≥b2-4ac,前面已证b2-4ac=(a-c)2≥0,所以2b-1≥b2-4ac≥0；x∈(1,2)时f（x)≤((x+1)/2)平方,将1代入得f(1)=a+b+c≤1,又a+c=b（前面已证）,
所以2b≤1, 前面有2b-1≥0,两不等式可得b=1/2. 所以f(1)=a+b+c=2b=1.
(2)证明:（1）中已证2b-1≥b2-4ac≥0又b=1/2,所以0≥b2-4ac≥0,可知
b2-4ac=0,又a+c=b,得a=1/4,c=1/4.
（3）证明：f(x)=1/4x2+1/2x+1/4.g(x)在[-1,1]单调,及单调递增或者单调递减,也就是导函数恒大于0或者恒小于0. 对g(x)求导即g'(x)=f'(x)-mx'=1/2x+1/2-m在[-1,1]恒≥0或者恒≤0.
当恒≥0时：1/2x+1/2-m≥0,m≤1/2x+1/2,m小于1/2x+1/2的最小值,将-1代入得m≤0
当恒≤0时：1/2x+1/2-m≤0,m≥1/2x+1/2,m大于1/2x+1/2的最大值,将1代入得m≥1.
知识点：1、二次函数有2个解时,b2-4ac>0,1个解时,b2-4ac=0, 无解,也就是函数曲线与X轴不相交时,b2-4ac＜0. 如题f(x)-x≥0就可知(b-1)2-4ac≤0； 2、函数的单调性,表示单调递增或者单调递减,在某一定义域内单调递增就表示这一定义域内导函数大于0, 递减就小于0, 如题（3）说函数g(x)在[-1,1]单调,就把g(x)对x求导,倒数是一个1次函数,这个1次函数在[-1,1]内不能既有正的也有负的,这样就不是单调了.
我试着写详细了些,希望你能把这道题弄懂,
第一次这么辛苦的打字,鼓励鼓励我吧,哈哈!