如图1所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,∠DCB=75°,已CD为一边的等边三角形DCE的另一顶点E在AB上F为CD上一点,∠FBC=30°,求证:DF=FC
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/29 13:34:36
![如图1所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,∠DCB=75°,已CD为一边的等边三角形DCE的另一顶点E在AB上F为CD上一点,∠FBC=30°,求证:DF=FC](/uploads/image/z/2499363-27-3.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE1%E6%89%80%E7%A4%BA%2C%E5%9C%A8%E7%9B%B4%E8%A7%92%E6%A2%AF%E5%BD%A2ABCD%E4%B8%AD%2CAD%E2%88%A5BC%2CAB%E2%8A%A5BC%2C%E2%88%A0DCB%3D75%C2%B0%2C%E5%B7%B2CD%E4%B8%BA%E4%B8%80%E8%BE%B9%E7%9A%84%E7%AD%89%E8%BE%B9%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2DCE%E7%9A%84%E5%8F%A6%E4%B8%80%E9%A1%B6%E7%82%B9E%E5%9C%A8AB%E4%B8%8AF%E4%B8%BACD%E4%B8%8A%E4%B8%80%E7%82%B9%2C%E2%88%A0FBC%3D30%C2%B0%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9ADF%3DFC)
如图1所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,∠DCB=75°,已CD为一边的等边三角形DCE的另一顶点E在AB上F为CD上一点,∠FBC=30°,求证:DF=FC
如图1所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,∠DCB=75°,已CD为一边的等边三角形DCE的另一顶点E在AB上
F为CD上一点,∠FBC=30°,求证:DF=FC
如图1所示,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,∠DCB=75°,已CD为一边的等边三角形DCE的另一顶点E在AB上F为CD上一点,∠FBC=30°,求证:DF=FC
连接AC,
因为三角形DCE是等边三角形
所以DE=DC=CE,∠DEC=∠EDC=∠ECD=60°
因为AD∥BC
所以,∠ADC+,∠BCD=180°,∠BAD+,∠ABC=180°
因为∠DCB=75°
所以∠ADC=105°
所以∠ADE=45°
因为AB⊥BC
所以∠B=90°
所以∠BAD=90°
所以∠AED=45°
所以∠AED=∠ADE
所以AD=AE
所以AC是线段DE的中垂线
∠EAC=1/2∠EAD=45°,∠ACE=1/2∠ECD=30°
所以三角形ABC是等腰直角三角形,AB=BC
因为∠FBC=30°
所以∠ABF=60°,∠BFC=75°
所以,∠BFC=∠DCB=75°
所以BC=BF
所以BF=BC=AB
所以△ABF是等边三角形
过点F作FG⊥AB于点G
则点G是AB的中点,且AD∥FG∥BC
所以DF=FC(平行线等分线段定理,或者是“过梯形一腰中点平行于底的直线必平分另一腰”)
(1)∵∠BCD=75º,AD∥BC ∴∠ADC=105º
由等边△DCE可知:∠CDE =60º,故∠ADE =45º
由AB⊥BC,AD∥BC可得:∠DAB=90º , ∴∠AED=45º
(2)方法一:由(1)知:∠AED=45º,∴AD=AE,故点A在线段DE的垂直...
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(1)∵∠BCD=75º,AD∥BC ∴∠ADC=105º
由等边△DCE可知:∠CDE =60º,故∠ADE =45º
由AB⊥BC,AD∥BC可得:∠DAB=90º , ∴∠AED=45º
(2)方法一:由(1)知:∠AED=45º,∴AD=AE,故点A在线段DE的垂直平分线上.
由△DCE是等边三角形得:CD=CE,故点C也在线段DE的垂直平分线上.
∴AC就是线段DE的垂直平分线,即AC⊥DE
连接AC,∵∠AED =45º,∴∠BAC=45º,又AB⊥BC ∴BA=BC.
∴△ABC为等腰三角形
方法二:过D点作DF⊥BC,交BC于点
可证得:△DFC≌△CBE 则DF=BC
从而:AB=CB ∴△ABC为等腰三角形
(3)∵∠FBC=30º,∴∠ABF=60º
连接AF,BF、AD的延长线相交于点G,
∵∠FBC=30º,∠DCB=75º,∴∠BFC=75º,故BC=BF
由(2)知:BA=BC,故BA=BF,∵∠ABF=60º,∴AB=BF=FA,
又∵AD∥BC,AB⊥BC,∴∠FAG=∠G=30º
∴FG =FA= FB
∵∠G=∠FBC=30º,∠DFG=∠CFB,FB=FG
∴△BCF≌△GDF
∴DF=CF
明白吗?
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