作业帮求3/2次幂分式的积分求∫dx/(x^2-a^2)^3/2,答案我知道是-x/(a^2*sqrt(x^2-a^2))+C,书上好像提示令x=1/t,但是做了一半我做不下去,）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/09/09 05:17:52
求3/2次幂分式的积分求∫dx/(x^2-a^2)^3/2,答案我知道是-x/(a^2*sqrt(x^2-a^2))+C,书上好像提示令x=1/t,但是做了一半我做不下去,）
求3/2次幂分式的积分
求∫dx/(x^2-a^2)^3/2,答案我知道是-x/(a^2*sqrt(x^2-a^2))+C,书上好像提示令x=1/t,但是做了一半我做不下去,）
求3/2次幂分式的积分求∫dx/(x^2-a^2)^3/2,答案我知道是-x/(a^2*sqrt(x^2-a^2))+C,书上好像提示令x=1/t,但是做了一半我做不下去,）
令x=1/t
t=1/x
(x^2-a^2)^(3/2)=[1/(t^2)-a^2]^(3/2)=[(1-a^2*t^2)^(3/2)]/[(t^2)^(3/2)]=
[(1-a^2*t^2)^(3/2)]/(t^3)
dx=[-1/(t^2)]dt
dx/(x^2-a^2)^(3/2)=[-1/(t^2)]dt/{[(1-a^2*t^2)^(3/2)]/(t^3)}=
-tdt/[(1-a^2*t^2)^(3/2)]
令u=1-a^2*t^2
du=-a^2*2tdt
dx/(x^2-a^2)^(3/2)=-tdt/[(1-a^2*t^2)^(3/2)]=[du/(2*a^2)]/[u^(3/2)]=
[1/(2*a^2)]*u^(-3/2)*du
积分,原函数=[1/(2*a^2)]*(-2)*u^(-1/2)=-(1/a^2)/sqrt(u)=
-(1/a^2)/sqrt(1-a^2*t^2)=-(1/a^2)/sqrt(1-a^2/x^2)=-|x|/(a^2*sqrt(x^2-a^2))
注意,此时还要加一个常数项C.
就是所求答案,不过我算的分子x多了个绝对值符号.
令x=1/t
dx=-t^(-2)dt
∫dx/(x^2-a^2)^3/2=∫-t^(-2)dt/((1/t^2)-a^2)^3/2
=-∫tdt/(1-a^2*t^2)^(3/2)
令y=1-a^2*t^2
dy=-a^2*2tdt
tdt=-(1/2)a^(-2)dy
∫dx/(x^2-a^2)^3/2=-∫tdt/(1-a...
全部展开
令x=1/t
dx=-t^(-2)dt
∫dx/(x^2-a^2)^3/2=∫-t^(-2)dt/((1/t^2)-a^2)^3/2
=-∫tdt/(1-a^2*t^2)^(3/2)
令y=1-a^2*t^2
dy=-a^2*2tdt
tdt=-(1/2)a^(-2)dy
∫dx/(x^2-a^2)^3/2=-∫tdt/(1-a^2*t^2)^(3/2)
=∫(1/2)a^(-2)dy/y^(3/2)
=(1/(2a^2))*(-1/2)*y^(-1/2)+C
=(-1/(a^2*y^(1/2))+C
=(-1/(a^2*(1-a^2*t^2)^(1/2)+C
=(-1/(a^2*(1-a^2*(1/x)^2)^(1/2)+C
=-|x|/(a^2*sqrt(x^2-a^2))+C
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