已知正整数数列{an},(n∈N*)中,前n项和为Sn,且2Sn=an+1/an,用数学归纳法证明an=(根号下n)-(根号下n-1
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/10/04 05:06:31
已知正整数数列{an},(n∈N*)中,前n项和为Sn,且2Sn=an+1/an,用数学归纳法证明an=(根号下n)-(根号下n-1
已知正整数数列{an},(n∈N*)中,前n项和为Sn,且2Sn=an+1/an,用数学归纳法证明an=(根号下n)-(根号下n-1
已知正整数数列{an},(n∈N*)中,前n项和为Sn,且2Sn=an+1/an,用数学归纳法证明an=(根号下n)-(根号下n-1
当n=1时
2s1=2a1=a1+1/a1
a1=1/a1
a1²=1
{an}是正整数数列
a1=1=(根号下1)-(根号下0)
满足
如果a(k)=(根号下k)-(根号下k-1)
2S(k)=a(k)+1/a(k)=(根号下k)-(根号下k-1)+(根号下k)+(根号下k-1)=2(根号下k)
S(k)=(根号下k)
S(k+1)=(根号下k+1)
a(k+1)=S(k+1)-S(k)=(根号下k+1)-(根号下k)
成立
有归纳法知
an=(根号下n)-(根号下n-1)
证明:由题意知当n=1,2S1=2a1=a1 +1/a1,则a1=1/a1,又a1>0,易得a1=1
此时a1=(根号下1)- 根号下(1-1)=1-0=1,成立;
假设当n=k,k∈N*时,都有:ak=(根号下k)- 根号下(k-1) 成立
则当n=k+1时,2S(k+1)=a(k+1) +1/a(k+1),而2Sk=ak+1/ak,
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证明:由题意知当n=1,2S1=2a1=a1 +1/a1,则a1=1/a1,又a1>0,易得a1=1
此时a1=(根号下1)- 根号下(1-1)=1-0=1,成立;
假设当n=k,k∈N*时,都有:ak=(根号下k)- 根号下(k-1) 成立
则当n=k+1时,2S(k+1)=a(k+1) +1/a(k+1),而2Sk=ak+1/ak,
则2a(k+1)=2S(k+1) -2Sk=a(k+1) +1/a(k+1) - (ak+1/ak)
即a(k+1) -1/a(k+1)=- (ak+1/ak)
=-{(根号下k)- 根号下(k-1) +1/[(根号下k)- 根号下(k-1)] }
=-[(根号下k)- 根号下(k-1) +(根号下k)+根号下(k-1)]
=-2根号下k
则有[a(k+1)]² +2根号下k × a(k+1) -1=0
配方得: [a(k+1) +根号下k]² -k -1=0
即 [a(k+1) +根号下k]²=k+1
因为a(k+1)>0,根号下k>0,所以解得:
a(k+1) +根号下k=根号下(k+1)
即a(k+1)=根号下(k+1) -根号下k=根号下(k+1) -根号下[(k+1)-1]
这就是说当n=k+1时,假设也成立
所以证得: an=(根号下n)- 根号下(n-1)
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