用极坐标计算积分:∫∫ln(1+x^2+y^2)dxdy,其中D是由圆周x^2+y^2=1与两坐标所围成的位于第一象限内的闭区我算到∫(2/pai,0)dθ∫(1,0)ln(1+r^2)rdr~之后算不下去了啊~

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/20 14:52:41
用极坐标计算积分:∫∫ln(1+x^2+y^2)dxdy,其中D是由圆周x^2+y^2=1与两坐标所围成的位于第一象限内的闭区我算到∫(2/pai,0)dθ∫(1,0)ln(1+r^2)rdr~之后算不下去了啊~
xR]KP;s3ܼ! nn&L53ôH8qΦWm'#胠9>q詠n0lW#Yٹ/_X$YY(fe^3bVlG9'6m"]/bCj[.y[qw]|Ѓ44un"ԓ%=H#Cp8$Ё%r_ ר;%MC+3E`Rs ~t I}$-w~*rN4V9,EIbL#2"LTM)oY+]hf*Cd1ljguklEeB|H+Ҷ+ŸQxK

用极坐标计算积分:∫∫ln(1+x^2+y^2)dxdy,其中D是由圆周x^2+y^2=1与两坐标所围成的位于第一象限内的闭区我算到∫(2/pai,0)dθ∫(1,0)ln(1+r^2)rdr~之后算不下去了啊~
用极坐标计算积分:∫∫ln(1+x^2+y^2)dxdy,其中D是由圆周x^2+y^2=1与两坐标所围成的位于第一象限内的闭区
我算到∫(2/pai,0)dθ∫(1,0)ln(1+r^2)rdr~之后算不下去了啊~

用极坐标计算积分:∫∫ln(1+x^2+y^2)dxdy,其中D是由圆周x^2+y^2=1与两坐标所围成的位于第一象限内的闭区我算到∫(2/pai,0)dθ∫(1,0)ln(1+r^2)rdr~之后算不下去了啊~
答:
∫(0到π/2)dθ∫(0到1)ln(1+r^2)rdr
算不定积分∫rln(1+r^2)dr
=∫1/2ln(1+r^2)d(1+r^2)
=1/2∫ln(1+r^2)d(1+r^2)
∫lnxdx=xlnx-x+C
所以1/2∫ln(1+r^2)d(1+r^2)
=1/2[(1+r^2)ln(1+r^2)-(1+r^2)]+C
则∫(0到π/2)dθ∫(0到1)ln(1+r^2)rdr
=π/2∫(0到1)ln(1+r^2)rdr
=π/2[1/2((1+r^2)ln(1+r^2)-(1+r^2))]|(0到1)
=π/4(2ln2-2-(-1))
=(2ln2-1)π/4