证明不等式x/（1＋x）＜In（1＋x）＜x,x>0

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/09/28 14:59:09
证明不等式x/（1＋x）＜In（1＋x）＜x,x>0
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证明不等式x/（1＋x）＜In（1＋x）＜x,x>0
证明不等式x/（1＋x）＜In（1＋x）＜x,x>0

证明不等式x/（1＋x）＜In（1＋x）＜x,x>0
ln(1+x)/x=(1+x)/e^x=(1+x)/(1+x+x^2/2+x^3/6+.)

移向求导 再讨论极值

先证明x/（1＋x）＜In（1＋x）
y=x/（1＋x）-In（1＋x）
y'=-x/（1＋x）^2-/（1＋x）<0
故而y在区域内单调递减，y》y（0）=0，不等式成立
再证明In（1＋x）＜x
y=In（1＋x）-x
y'=x/（1＋x）-1《0
同上可得

对f(x)=ln(1+x)在[0，x]上用中值定理得
f(x)-f(0)=f'(r)(x-0)=x/(1+r)其中r属于[0,x]
所以x/1+x如果是高中，构造函数求导g(x)=ln(1+x)-x，然后构造另一个，求导可证

证明：设f(t)=ln(1+x)，f(t)在区间[0,x]上满足拉格朗日中值定理，有
f(x)-f(0)=f'(a)(x-0)，0∵f(0)=0,f'(t)=1/(1+t) ∴ln(1+x)=x/(1+a),又0即 x/(1+x)0)

最好的办法就是构造辅助函数，用中值定理证明。

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