一道不等式证明题已知a,b,c＞0,且ab+bc+ca=1.求证：[（1/a)+6b]^(1/3)+[（1/b)+6c]^(1/3)+[（1/c)+6a]^(1/3)≤1/abc

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/29 10:10:32
一道不等式证明题已知a,b,c＞0,且ab+bc+ca=1.求证：[（1/a)+6b]^(1/3)+[（1/b)+6c]^(1/3)+[（1/c)+6a]^(1/3)≤1/abc
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一道不等式证明题已知a,b,c＞0,且ab+bc+ca=1.求证：[（1/a)+6b]^(1/3)+[（1/b)+6c]^(1/3)+[（1/c)+6a]^(1/3)≤1/abc
一道不等式证明题
已知a,b,c＞0,且ab+bc+ca=1.求证：[（1/a)+6b]^(1/3)+[（1/b)+6c]^(1/3)
+[（1/c)+6a]^(1/3)≤1/abc

一道不等式证明题已知a,b,c＞0,且ab+bc+ca=1.求证：[（1/a)+6b]^(1/3)+[（1/b)+6c]^(1/3)+[（1/c)+6a]^(1/3)≤1/abc
设(1/a+6b)^(1/3)+(1/b+6c)^(1/3)+(1/c+6a)^(1/3)≤1/(abc) ------(1）
证明
（1） (abc)^(2/3)*{[bc(1+6ab)]^(1/3)+[ca(1+6bc)]^(1/3)+[ab(1+6ca)]^(1/3)}≤1
设bc=x,ca=y,ab=z.则x+y+z=1.
上式置换后等价于
(xyz)^(1/3)*{[x(1+6z)]^(1/3)+[y(1+6x)]^(1/3)+[z(1+6y)]^(1/3)})}≤1 ------(2)
因为
3*[x(1+6z)]^(1/3)
=[3*9x*(1+6z)]^(1/3)
≤ [3+9x+(1+6z)]/3=(4+9x+6z)/3
所以 [x(1+6z)]^(1/3)≤(4+9x+6z)/9
同理
[y(1+6x)]^(1/3)≤(4+9y+6x)/9
[z(1+6t)]^(1/3)≤(4+9z+6y)/9
故得
[x(1+6z)]^(1/3)+[y(1+6x)]^(1/3)+[z(1+6y)]^(1/3)≤
[12+15(x+y+z)]/9=3
而(xyz)^(1/3)≤(x+y+z)/3=1/3,即知(2)式成立,
所以(1)获证.

证明 因为a,b,c均大于0，且ab+bc+ca=1，
根据均值不等式有
[(1/a+6b)^(1/3)+(1/b+6c)^(1/3)+(1/c+6a)^(1/3)]^3
≤9(1/a+6b+1/b+6c+1/c+6a)
=9[1/a+1/b+1/c+6(a+b+c)/(bc+ca+ab)]
=9[(bc+ca+ab)/(abc)+6(a+b+c)...

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证明 因为a,b,c均大于0，且ab+bc+ca=1，
根据均值不等式有
[(1/a+6b)^(1/3)+(1/b+6c)^(1/3)+(1/c+6a)^(1/3)]^3
≤9(1/a+6b+1/b+6c+1/c+6a)
=9[1/a+1/b+1/c+6(a+b+c)/(bc+ca+ab)]
=9[(bc+ca+ab)/(abc)+6(a+b+c)/(bc+ca+ab)] (1)
bc+ca+ab≥3(abc)^(2/3)
<==> 1≥27(abc)^2 <==> 1/(abc)^2≥27
1/(abc)^3 ≥27/(abc)=27(bc+ca+ab)/(abc) (2)
据此我们只需证
9[(bc+ca+ab)/(abc)+6(a+b+c)/(bc+ca+ab)]≤27(bc+ca+ab)/(abc)
<===>
3(a+b+c)/(bc+ca+ab)≤(bc+ca+ab)/(abc)
<===>
3abc(a+b+c)≤(bc+ca+ab)^2
<==>
abc(a+b+c)≤b^2*c^2+c^2*a^2+a^2*b^2 (3)
(3)式成立显然.
所以得证

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我看着就晕 不能帮你 但我欣赏学数学的人

一道不等式证明题已知a,b,c＞0,且ab+bc+ca=1.求证：[（1/a)+6b]^(1/3)+[（1/b)+6c]^(1/3)+[（1/c)+6a]^(1/3)≤1/abc 一道数学不等式证明,已知-c/a＜-d/b,bc＞ad.求证：ab＞0 一道不等式证明已知a>b>c,求证a2/(a-b)+b2/(b-c)>a+2b+c 一道不等式的证明题已知a,b,c均为正数,且a+b+c=1,求证4＜(3a+1)½+(3b+1)½+(3c+1)½≤3×2½ 一道不等式证明实数a,b,c满足a>b>c,且a+b+c=1,a^2+b^2+c^2=1,证明1 求用排序不等式证明一道题已知a b c为三个大于0 的正数 求证 lg((a+b)/2)+lg((a+c)/2)+lg((c+b)/2)＞lga +lgb+lgc 一道高中数学不等式证明题.设a,b,c>0,求证1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)>=9/2(a+b+c) 一道不等式证明题已知a、b、c为正实数,且ab+bc+ca=3,求证a^2+b^2+c^3+3abc≥6题没错！ 文科数学一道基本不等式题已知a>b>c且1/(a-b)+1/(b-c)≥m/(a-c)恒成立,则实数m∈______ 问一道数学不等式的证明题a/b+b/a≥2(a>0,b>0),当且仅当a=b时取等号 高中数学不等式证明（放缩法求证：已知a,b,c>0,且a^2+b^2=c^,求证：a^n+b^n=3) 用分析法证明一道不等式的证明题设a>0,b>0,2c>a+b,求证:c-√c^2-ab 一道数学证明题 关于不等式的已知 a b＞0,且a+b=1,求证1.1/（a平方）+1/（b平方）≥82.（a+1/a）平方+（b+1/b）平方≥25/23.（a+1/a）*（b+1/b）≥25/4 急,利用基本不等式证明不等式1题:已知a>0,b>0且a+b=1,求证1/a+1/b>=42题：已知a,b,c属于（0,＋无穷）且a+b+c=1,求证（1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)>=8 已知a,b,c属于正实数.求证 a平方+b平方+c平方大于等于1/3这是一道数学不等式证明题, 一道高中数学不等式的证明已知|a| 高中不等式证明已知abc=1,且a,b,c为实数,证明:1/a+1/b+1/c+3/(a+b+c)>=4 一道高中数学的题目（基本不等式）a.b.c∈(0,2),证明(2-a)c,(2-b)a,(2-c)b不能同时＞1.