在数列{an}中,a1=6,an=3an-1+3n(n≥2,且n∈N*)1.求证数列{an/3n}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;2.若bn=an-3n,求数列{bn}的前n项和Sn
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/17 16:25:58
![在数列{an}中,a1=6,an=3an-1+3n(n≥2,且n∈N*)1.求证数列{an/3n}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;2.若bn=an-3n,求数列{bn}的前n项和Sn](/uploads/image/z/4505350-22-0.jpg?t=%E5%9C%A8%E6%95%B0%E5%88%97%7Ban%7D%E4%B8%AD%2Ca1%3D6%2Can%3D3an-1%2B3n%28n%E2%89%A52%2C%E4%B8%94n%E2%88%88N%2A%291.%E6%B1%82%E8%AF%81%E6%95%B0%E5%88%97%7Ban%2F3n%7D%E4%B8%BA%E7%AD%89%E5%B7%AE%E6%95%B0%E5%88%97%2C%E5%B9%B6%E6%B1%82%E6%95%B0%E5%88%97%7Ban%7D%E7%9A%84%E9%80%9A%E9%A1%B9%E5%85%AC%E5%BC%8F%EF%BC%9B2.%E8%8B%A5bn%3Dan-3n%2C%E6%B1%82%E6%95%B0%E5%88%97%7Bbn%7D%E7%9A%84%E5%89%8Dn%E9%A1%B9%E5%92%8CSn)
在数列{an}中,a1=6,an=3an-1+3n(n≥2,且n∈N*)1.求证数列{an/3n}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;2.若bn=an-3n,求数列{bn}的前n项和Sn
在数列{an}中,a1=6,an=3an-1+3n(n≥2,且n∈N*)
1.求证数列{an/3n}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;
2.若bn=an-3n,求数列{bn}的前n项和Sn
在数列{an}中,a1=6,an=3an-1+3n(n≥2,且n∈N*)1.求证数列{an/3n}为等差数列,并求数列{an}的通项公式;2.若bn=an-3n,求数列{bn}的前n项和Sn
1、因为an=3an-1+3n(n≥2,且n∈N*)
所以等号两边同除以3n得(an)/(3n)-[a(n-1)]/[3^(n-1)]=1(n≥2,且n∈N*)
所以数列{an/3n}为等差数列,其首项为a1/3=2
故an/3n=2+(n-1)×1=n+1
得an=3n(n+1)
2、bn=an-3n=3n^2
令cn=n^2 ,设cn的前n项和为Tn.(用立方差公式构造,叠加)
∵ (n+1)^3-n^3
=(n+1-n)[(n+1)^2+(n+1)n+n^2] (立方差公式)
=3n^2+3n+1
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
∴2^3-1^3=3×1^2+3×1+1
3^3-2^3=3×2^2+3×2+1
4^3-3^3=3×3^2+3×3+1
.
(n+1)^3-n^3=3n^2+3n+1
将上面n个等式两边相加:
(n+1)^3-1=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(1+2+3+.+n)+n
n(n^2+3n+3)=3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)+3(n+1)n/2+n
∴3(1^2+2^2+3^2+.+n^2)
=n(n^2+3n+3)-3(n+1)n/2-n
=n/2[(2n^2+6n+6)-3(n+1)-2]
=n/2(2n^2 +3n+1)
=n(n+1)(2n+1)/2
∴Tn=1^2+2^2+3^2+.+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
Sn=3Tn=n(n+1)(2n+1)/2
an/3n不是等差数列吧
a n+1=3an+3(n+1) 两式相减